Свойство полноты множества вещественных чисел

Теорема (свойство полноты множества вещественных чисел). Пусть А и В непустые подмножества множества вещественных чисел, обладающие следующим свойством:

хÎА и уÎВ х£у, тогда существует такое действительное число с, что х£с£у.

хÎА и уÎВ: х£у сR: х£с£у.

Замечание. Множество рациональных чисел не обладает свойством полноты.

Пример. Покажем, опираясь на эту теорему, что на множестве действительных чисел уравнение х²=2 имеет решение.

Рассмотрим множества А={x>0: x²<2} и B={y>0: y²>2}

Допустим, что х>yÞт.к. x,y>0, то x²>y²Þx²>2 – получили противоречие.

Следовательно, по свойству полноты, $сÎR: "xÎA и "yÎB Þx£c£y.

Покажем, что сÏА, т.е. условие с²<2 не выполняется.

Допустим, что с²<2. Тогда взяв достаточно большое n <2, т.е.

с²+2с+<2Û2с+<2-с²

Тогда с+ÎА, что противоречит тому, что x£c£y.

Аналогично, через (с-) показывается, что сÏВ, т.е. не выполняется с²>2.

Следовательно, с²=2.

Дата добавления: 2014-01-07