Бесконечно малые последовательности (величины)

Определение 1. Последовательность {a_n}, пробегающая последовательность значений a₁,a₂,….,a_n,.., называется бесконечно малой последовательностью, если

=0.

Исходя из определения предела последовательности при а=0, можно дать другое определение бесконечно малой (б.м.) последовательности.

Определение 2. Последовательность {a_n}, пробегающая последовательность значений a₁,a₂,….,a_n,.., называется бесконечно малой последовательностью, если для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 можно указать номер N, такой, что все значения a_n, у которых номер n>N, по абсолютной величине будут меньше e, т.е. , если n>N.

Пример. Покажем, что если ½q½<1, то qⁿ – бесконечно малая.

Возьмем сколь угодно малое e>0 и рассмотрим неравенство ½qⁿ½<e (*)

Если q=0, то неравенство (*) выполняется при всех n.

Предположим, что q≠0. Тогда неравенство (*) равносильно неравенству:½q½ⁿ<e.

Прологарифмируем последнее неравенство. Получим равносильное неравенство:

или неравенство (т.к. ½q½<1, то )

Считая e<1, положим N=, тогда при n>N окажется, что½qⁿ½<e.

А это означает, что qⁿ – бесконечно малая при ½q½<1.

Дата добавления: 2014-01-07