Квантовая теория теплоемкости. Фононы

Согласно классической формуле теплоемкость твердых тел определяется в соответствии с законом Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических тел при достаточно высоких температурах одинакова и равна 3R:

c_µ=3R

Опыт показывает, что при обычных температурах молярная теплоемкость большинства твердых тел близка к значению, даваемому классической теорией и почти не зависит от температуры. Однако существуют четыре химических элемента (бериллий, бор, кремний и алмаз), кристаллы из которых при обычной температуре имеют теплоемкость, значительно меньшую чем 3R, и она зависит от температуры.

Проделанные опыты показали, что в действительности теплоемкость зависит от температуры.

При этом, как видно из графика, с понижением температуры она понижается пропорционально кубу абсолютной температуры и стремится к нулю. Согласно классической теории теплоемкость твердых тел не зависит от температуры. Поэтому с точки зрения классической теории теплоемкость твердых тел не может быть объяснена. Объяснение дает квантовая теория теплоемкости.

Теория Эйнштейна.

Согласно квантовой теории Эйнштейна, энергия колеблющихся ионов в решетке пропорциональна величине Е=nhν. У различных молекул твердого тела частота может быть различна, поэтому и энергии различны. Эйнштейн предположил, что все молекулы колеблются с одинаковой частотой, что в действительности невозможно. Он нашел, что средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы равна:

(1)

Внутренняя энергия 1 моля по Эйнштейну принимает значение:

(2)

В соответствии с определением теплоемкости, дифференцируя (2), получим:

(3)

где - характеристическая температура Эйнштейна.

При Т>θ_э полученное соотношение дает теплоемкость c_µ=3R.

При Т=0^оК c_µ=0, что согласуется с опытом.

Температурная зависимость теплоемкости, вычисленной по теории Эйнштейна, близка к экспериментальным наблюдениям. Расхождения обнаруживаются только при низких температурах. В теории Эйнштейна допускается, что все молекулы колеблются с одинаковой частотой. Эта частота подбирается так, чтобы вычисленные значения возможно ближе соответствовали данным эксперимента. В действительности в кристалле реализуется целый спектр колебаний.

Дата добавления: 2014-01-07