Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Надёжность элемента. Плотность распределения времени безотказной работы. Среднее время безотказной работы

Оценка надежности системы и элементов требует введения количественных характеристик. Рассмот­рим здесь некоторые из этих характеристик. Для краткости будем определять их применительно к "элементу"; однако те же определения будут относиться и к "системе".

Надежностью элемента (в узком смысле слова) называется вероятность того, что данный эле­мент в данных условиях будет работать безотказно в течение времени t. Эту вероятность мы будем обозначать р(t). Функция р(t) называется иногда законом надежности.

Естественно, с увеличением времени функция р(t) убывает (рис 3.1) При t=0 естественно предполо­жить р(t)=1.

 

 

Ненадежностью элемента называется вероятность q(t) того, что элемент откажет (выйдет из строя) в течение времени t. Очевидно, q(t)=1-p(t).

Рассмотрим время T безотказной работы элемента как случайную величину. Функция распределения F(t) этой случайной величины определяется как

F(t)=P(T<t). (3.1)

Очевидно, F(t) - вероятность того, что за время t элемент откажет, - представляет собой не что иное, как ненадежность элемента: F(t)=q(t), - а его надежность дополняет F(t) до единицы:

p(t)=1-F(t). (3.2)

Таким образом, ненадежность q(t) обладает свойствами функции распределения неотрицательной случайной величины. Она равна нулю при t=0, не убывает при возрастании t и стремится к единице при t® ¥ (рис. 3.2).

 

 

На практике обычно вместо функции распределения F(t) пользуются ее производной — плотностью распределения или плотностью вероятности:

f(t)=F'(t)=q'(t). (3.3)

График плотности f(t) показан на рис. 3.3. Площадь, ограниченная кривой f(t), равна единице.

 

 

Величина f(t)dt — элемент вероятности — истолковывается как вероятность того, что время T примет значение, лежащее в пределах элементарного участка (t, t+dt).

В литературе надежность функции f(t) часто называют "плотностью отказов". Во избежание недора­зумений, связанных с нечеткой терминологией, мы будем называть f(t) более точно: плотностью рас­пределения времени безотказной работы.

Плотность f(t) может быть приближенно определена из опыта, для чего ставится следующий экспе­римент: наблюдается работа большого числа N однородных элементов; каждый из них работает до мо­мента отказа. Время, в течение которого работал элемент, регистрируется. Полученные значения вре­мени:

t1, t2, …., tN

обрабатываются обычными методами математической статистики: строится гистограмма (рис. 3.4) и выравнивается с помощью какой-нибудь плавной кривой, обладающей свойствами плотности.

 

Ордината гистограммы на каждом элементарном участке времени Dt представляет собой не что иное, как среднее число отказов за единицу времени, приходящееся на один испытанный элемент. Тот же смысл можно приписать и функции f(t). Приближенно плотность f(t) определяется по формуле

, (3.4)

где m(t, t+Dt) — число элементов, оказавших на участке времени от t до t+Dt (время отсчитывается от момента включения); N — общее число элементов, Dt — длина элементарного участка времени.

Пример. Было испытано N=1000 ламп на длительность безотказной работы. Результаты испытаний приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Длительность работы в часах (от - до) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-80 80-100 100-150 150-200
Число ламп m(t, t+t)                    

Найти приближенно плотность f(t) для каждого участка времени, построить гистограмму и выров­нять (от руки) плавной кривой.

Решение. На первом участке (0-10 час) имеем: ,

на втором ,

и т.д. Значения плотности f(t) приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Длительность работы в часах (от - до) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-80 80-100 100-150 150-200
Плотность f(t) 0,0151 0,0102 0,0077 0,0061 0,0079 0,012 0,0100 0,0035 0,0017 0,0010

Гистограмма и выравнивающая кривая приведены на рис. 3.5.

   

Отметим, что плотность f(t), изображенная на рис. 3.5, имеет максимум при t=0, т.е. максимальная частота отказов приходится на начальный период работы элемента. Такой характер кривой f(t) нередко наблюдается на практике, особенно при работе с электро- и радиодеталями, т.к. они часто имеют тен­денцию отказывать немедленно или вскоре после включения. Иногда это повышение плотности в точке t=0 сказывается настолько резко, что заметную долю элементов можно считать отказавшим точно в момент включения. При этом время безотказной работы Т превращается из непрерывной в смешанную случайную величину, у которой одно значение (t=0) обладает отличной от нуля вероятностью p0, а для других существует только какая-то плотность распределения. Функция распределения такой случайной величины показана на рис. 3.6 – в точке t=0 она имеет скачок, равный р0, а при t>0 – непрерывна.

 

 

Дифференцируя функцию F(t) при t>0, получим кривую “плотности” (рис. 3.7). Она характерна тем, что ограничивает площадь, равную уже не единице, а 1-р0. При обработке экспериментальных дан­ных в таком случае отбирают в отдельную группу элементы, отказавшие при включении, и отношение их числа m0 к общему числу N испытанных элементов считают за приближенное значение р0:

,

а для остальных данных строится обычная гистограмма (при этом частоты находятся делением числа наблюдений в разряде на общее число наблюдений N).

В качестве характеристики надежности элемента часто применяют среднее время безотказной ра­боты, т.е. математическое ожидание величины Т:

.

В случае, если величина Т непрерывна (т.е. её функция распределения F(t) не имеет скачка при t=0)

. (3.5)

В случае, когда Т – смешанная случайная величина, и отдельное значение t=0 имеет вероятность р0,

.

Величина может быть выражена не через плотность распределения f(t), а непосредственно через на­дежность p(t). Действительно,

.

Интегрируя по частям, имеем: .

Первый член в правой части этого выражения равен нулю, так как для случайной величины T, у ко­торой существует математическое ожидание, разность 1-F(t)=p(t) при t®¥ должна убывать быстрее, чем растет t. Поэтому

. (3.6)

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию: среднее время безотказной работы элемента равно полной площади S, ограниченной кривой надежности и осями координат (рис. 3.8).

 
 


Очевидно, в случае, когда T — смешанная случайная величина (значение t=0 имеет вероятность р0), это правило остается в силе; вся разница в том, что кривая р(t) будет начинаться не от 1, а от 1-р0 (рис. 3.9).

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Надежность и её параметры | Интенсивность отказов
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 3624; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.