Понятие определённого интеграла

Пусть на отрезке задана функция . Рассмотрим фигуру (см. рис. 1), ограниченную графиком функции , прямы­ми , и осью . Её называют криволинейной трапецией. Поставим задачу об определении и вычислении площади этой криволинейной трапеции.

Отрезок разобьём на n произвольных частей точ­ками:

.

Через точки проведём прямые, параллельные оси . Криволинейная трапеция разобьется на n частичных криво­линейных трапеций. Теперь на каждом из отрезков , , …, произвольно выберем по точке ,

Рис. 1. Нахождение площади криволинейной трапеции

Вычислим значение . И каждую частичную криволи­нейную трапецию заменим прямоугольниками с высотами , ,..., . Тогда можно полагать, что для пло­щади криволинейной трапеции справедливо соотношение

.

Естественно предположить, что это равенство будет тем точнее, чем меньше максимум длин отрезков разбиения

Поэтому площадь криволинейной трапеции равна

(1)

Число S, равное пределу (1), называют определенным ин­тегралом от функции по отрезку и обозначают

Таким образом, задача о вычислении площади криволиней­ной трапеции приводит к введению понятия определённого интеграла.

Дата добавления: 2014-01-07