Решение. Геометрические задачи

Пример 7.

Геометрические задачи.

Возникновение во 2-ой половине 17 века теории дифференциальных уравнений связано прежде всего с актуальными на то время так называемыми «обратными задачами на касательные» (поиск кривых по известным свойствам их касательных). Это и были первые задачи, которые сводились к решению дифференциальных уравнений.

Кривая проходит через точку А (2; -1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности равным 3. Найти уравнение этой кривой.

Пусть у = у (х) – искомое уравнения кривой. Выразим все упомянутые в задаче величины через х, у, у^/. Тогда данное в условии соотношение будет представлять собой дифференциальное уравнение, из которого можно найти функцию у(х).

Пусть М (х, у) – произвольная точка искомой кривой (рис. 2).

Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент k касательной в точке М (х, у) определяется по формуле:

k=у^/(х) (37)

По условию задачи: k = 3у². Откуда, с учетом (37) получаем следующее дифференциальное уравнение: у^/ = 3у² (38)

Уравнение (38) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Решим его (см. лекция 1): ;

;

;

;

;

;

. (39)

Так как искомая кривая проходит через точку А (2; -1), т.е. у (2) = -1, то подставив в общее решение (39) уравнения (38) это начальное условие, определим значение параметра С:

; .

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид: (40)

Кривая (40) представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке , асимптотами которой служат прямые и у = 0 (ось Ох).

Дата добавления: 2014-01-07