Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид (78) (см. лекция 7).

Согласно теореме (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения) общее решение (обозначим его через у) линейного неоднородного уравнения (78) представляет собой сумму какого-нибудь его частного решения (обозначим через ) и общего решения (обозначим через) соответствующего исходному линейного однородного дифференциального уравнения (79), т.е.: (84)

Следовательно, для построения общего решения линейного неоднородного уравнения необходимо найти какое-нибудь одно его частное решение и общее решение соответствующего однородного уравнения (см. лекция 7). Частное решение неоднородного всегда может быть найдено методом вариации произвольной постоянной Лагранжа (см. лекция 6), поэтому ограничимся рассмотрением случая, когда правая часть уравнения (78) – функция является так называемой специальной правой частью, т.е. имеет вид:

(85)

где α и β – константы Pn (x) и Qm (x) – многочлены от х соответственно n – ой и m – ой степени (или является суммой функций такого вида).

На практике чаще всего имеют дело со следующими частными случаями специальной правой части уравнения (78):

7)

Структура частного решения у* линейного неоднородного уравнения (78) в случае, когда его правая часть является специальной, заведомо известна, поэтому конкретное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Укажем частные решения , соответствующие различным простейшим случаям специальной правой части :

1. f(x) =aeαx, тогда:

а) у* = Аеαx, если α не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у* = Аеαx · х, если α является простым корнем характеристического уравнения (80);

в) у* = Аеαx · х2, если α является двукратным корнем характеристического уравнения (80);

2. f(x) = Pn (x), тогда:

а) у* = А01х + А2х2 + …Аnxn, если ноль не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у* = (А01х + А2х2 + …Аnxn) · х, если ноль является простым корнем уравнения (80);

3. f(x) = eαx · Pn (x), тогда:

а) у* = еαх01х + А2х2 + …Аnxn), если α не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у* = еαх01х + А2х2 + …Аnxn) · х, если α является простым корнем характеристического уравнения (80);

в) у* = еαх01х + А2х2 + …Аnxn) · х2, если α является простым корнем характеристического уравнения (80);

4. f(x) = M cosβx + N sinβx, тогда:

а) у* = А cosβx + B sinβx, если = βi не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у* = (А cosβx + B sinβx) · х, если = βi является корнем характеристического уравнения (80);

5. f(x) = eαx · (Mcosβx + Nsinβx), тогда:

а) у* = еαх (А cosβx + B sinβx), если = α + βi не является корнем характеристического уравнения (80);

б) у* = еαх (А cosβx + B sinβx) · х, если = α + βi является корнем характеристического уравнения (80);

В случае, когда правая часть f (x) уравнения (67) представляет собой сумму конечного числа специальных правых частей, т.е.:

f(x) = f1(x) + f2(x) + …+ fn(x), где fi(x) – функция вида (79); i = 1,2,..., n

тогда частное решение указанного уравнения имеет вид:

Здесь: – какое-нибудь частное решение уравнения i = 1,2,..., n.

 

Пример. (Задача типа 61-70).

Найти общее решение следующих уравнений:

а) у// + 4у/ + 4у = 8е-2х;

б) 4у// - у/ = 3х-2;

в) у// + у = sin – ex.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Решение однородных уравнений | Решение. Уравнение есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 334; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.