Отражение и преломление плоской волны на границе

раздела двух диэлектриков.

Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков.

Плоскостью падения волны называется плоскость, перпендикулярная границе раздела сред и содержащая волновой вектор падающей волны.

Будем предполагать, что волна является линейно-поляризованной. Уравнения волны , , .

Ход каждой из волн зададим с помощью лучей и соответствующих волновых векторов.

Рассмотрим любую точку на границе. В ней пересекаются три луча – луч падающей волны, луч прошедшей волны и луч отражённой волны.

Вдоль границы введём систему координат так, чтобы волновой вектор падающей волны лежал в плоскости (XY), где ось X направлена вдоль границы, а вектор Y перпендикулярен ей, а начало координат совпадало с выбранной точкой.

Тогда , где угол a ₁ между нормалью к границе (осью Y) и лучом падающей волны будем называть углом падения.

Будем обозначать параметры падающей волны индексом «1», прошедшей волны - индексом «2», а отражённой – «3». Введём угол преломления a₂ и угол отражения a₃ - углы между нормалью и соответствующими лучами. Тогда

, .

В общем случае падающую волну можно представить в виде суперпозиции двух волн, у которых плоскости поляризации взаимно перпендикулярны. Поэтому рассмотрим падение волн с такой поляризацией по-отдельности.

1) Рассмотрим случай, когда в падающей волне вектор параллелен границе, а вектор лежит в плоскости (XY), т.е. . Как говорят, волна поляризована в плоскости падения.

Так как на границе должны выполняться условия и , то и , и .

Кроме того, на границе выполняются условия и ,

поэтому , .

Как следует из этих уравнений проекции E _2Z, E _3Z, H _2X, H _3X, H _2Y, H _3Y не связаны никакими уравнениями с параметрами падающей волны. Поэтому их можно не рассматривать, т.е. считать равными нулю. Следовательно, прошедшая и отражённая волны являются линейно-поляризованными, т.к.

, , , .

Тогда волновые векторы тоже лежат в плоскости (XY):

, .

Уравнения для напряжённостей всех трех волн

, , .

Для них должно выполняться условие на границе . Точки границы задаются радиус-вектором , поэтому на границе выполняется равенство:

.

В частности, в точке x =0: .

На амплитудно-векторной диаграмме сумма трёх векторов постоянной длины не будет зависеть от времени, если только угловые скорости вращения этих векторов одинаковые: . Т.е. частоты всех трёх волн одинаковые. Обозначим эту частоту w.

Теперь зафиксируем какой-то момент времени t ₀. Тогда в любой точке границы (для любого значения x) выполняется равенство:

.

Так как величина x является параметром, то волновые числа k _{1 X}, k _{2 X}, k _{3 X} будут являться аналогом угловой скорости вращения векторов , , на амплитудно-векторной диаграмме. Следовательно, равенство возможно только в случае, когда k _{1 X} = k _{2 X} = k _{3 X}.

Из k _{1 X} = k _{2 X} следует соотношение . Т.к. и , то угол падения и угол преломления связаны соотношением:

(закон Снеллиуса).

Из k _{1 X} = k _{3 X} следует соотношение . Т.к. падающая и отражённая волны распространяются в одной среде, то , откуда - угол отражения равен углу падения.

Найдём соотношения между величинами напряжённостей. Предположим, что векторы напряжённостей электрического и магнитного полей в падающей, прошедшей и отражённой волнах в некоторый момент времени имеют направления, указанные на рисунке. Тогда , и .

Условие примет вид:

.

Из условия: получаем равенство:

Получаем систему из двух уравнений

.

Из закона преломления следует, что уравнения выполняются в случае нормального падения волны на границу .

Предположим, что . Первое уравнение умножаем на , а второе на и, вычитая из первого уравнения второе, получаем:

.

Преобразуем это уравнение

В этом уравнении коэффициенты при и не зависят от времени. Поэтому они должны быть равными нулю. Равенства

, и

выполняются одновременно при и .

Перепишем эти условия в виде и получим, что

, т.е. начальные фазы падающей и отражённой волн либо равны, либо отличаются друг от друга на p. Поэтому (либо ). Тогда можно записать:

.

Для оптически прозрачных сред , поэтому . С учётом , можно провести некоторые преобразования и получить

.

Величины амплитуд Е ₀₁ и Е ₀₃ положительные.

Т.к. a₁ £ p/2 и a₂ £ p/2, то a₁+a₂ £ p, поэтому tg (a₁+a₂) ³ 0.

Следовательно, в случае a₁-a₂ ³ 0, (т.е. когда tg (a₁-a₂) ³ 0) должно быть

- фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на p.

В этом случае a₁ ³ a₂, поэтому , т.е. волна отражается от оптически более плотной среды.

Случаю a₁-a₂ < 0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды и фаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.

Возможен случай, когда нет отражённой волны: Е ₀₃= 0. Это возможно либо при tg (a₁-a₂)=0, т.е. a₁=a₂ - волна не преломляется, либо при tg (a₁+a₂)→ +¥, т.е. a₁+a₂ =p/2 - волновые векторы преломлённого луча и отражённого луча взаимно перпендикулярны.

Тогда равенство Е ₀₃=0 равносильно . Но , поэтому . Следовательно, если тангенс угла падения равен относительному показателю преломления двух сред,

то при отражении света от границы между ними нет волны, плоскость поляризации которой совпадает с плоскостью падения. Этот угол называется углом Брюстера.

Дальнейшее решение приводит к выражению:

.

Величины амплитуд Е ₀₁ и Е ₀₂ положительные.

Т.к. a₁£p/2 и a₂£p/2, то a₁+a₂£p, поэтому sin (a₁+a₂)³0 и cos (a₂-a₁)³0. Следовательно, должно быть , т.е. фазы прошедшей и падающей волн совпадают.

2) Рассмотрим случай, когда в падающей волне вектор параллелен границе, а вектор лежит в плоскости (XY), т.е. . Волна поляризована в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Так как на границе должны выполняться условия и , то

и , и.

Кроме того, на границе выполняются условия и ,

поэтому , .

Координаты E _2X, E _3X, E _2Y, E _3Y, H _2Z, H _3Z, не связаны никакими уравнениями с параметрами падающей волны. Поэтому их можно не рассматривать, т.е. считать равными нулю. Следовательно, прошедшая и отражённая волны являются линейно-поляризованными, т.к.

, , , .

Результаты решения для этого случая сформулируем следующим образом.

Законы преломления остаются прежними , .

Т.к. a₁£p/2 и a₂£p/2, то a₁+a₂£p, поэтому tg (a₁+a₂)³0.

Следовательно, в случае a₁-a₂³0, (т.е. когда sin (a₁-a₂)³0) должно быть

- фаза отражённой волны отличается от фазы падающей волны на p.

В этом случае a₁³a₂, поэтому , т.е. волна отражается от оптически более плотной среды.

Случаю a₁-a₂<0 соответствует отражение от оптически менее плотной среды и фаза отражённой волны совпадает с фазой падающей волны.

Поэтому должно быть , т.е. фазы преломлённой и падающей волн одинаковые.

В итоге, закон преломления можно сформулировать следующим образом. Волновые векторы всех трёх волн лежат в одной плоскости падения. Угол падения равен углу отражения, угол преломления связан с углом отражения соотношением

.

Фазы падающей и прошедшей волн одинаковые. Фаза отраженной волны отличается от фазы падающей волны на p при отражении от оптически более плотной среды.

Падающая волна, отражённая и преломлённая волны поляризованы одинаково. Но если волна, поляризованная в плоскости падения, падает под углом Брюстера , то отраженная волна отсутствует.

Дата добавления: 2014-01-07