Теорема о прохождении через нуль непрерывной на сегменте функции

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

Функции многих переменных.

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f(x₀, y₀).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …) £ f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка

N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение непрерывной функции по Гейне. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к пределу , соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу .

Определение непрерывной функции по Коши. Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного существует положительно число такое, что для всех , для которых , справедливо неравенство .

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует такое, что всюду в пределах окрестности точки , функция имеет тот же знак, что .

Доказательство. Рассмотрим сначала случай . Так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа существует положительное числотакое, что для всех , удовлетворяющих неравенству будет выполнятся неравенство или

Из левого неравенства находим для всех , что и требовалось доказать.

Пусть теперь . Рассмотрим функцию . Тогда и согласно доказанному, существует такая – окрестность , что в каждой точке этой окрестности или . Теорема 5.2 доказана.

Аналогичная теорема справедлива и для функции, которая является непрерывной в точке только справа или только слева.

Для любого полусегмента будем называть правой -полуокрестностью точки , а полусегмент – левой -полуокрестностью точки .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки , непрерывна в точке справа (слева) и её значение отлично от нуля, то найдётся такое положительное число , что функция всюду в правой (левой) -полуокрестности точки имеет тот же знак, что и в точке .

Для доказательства этой теоремы нужно дословно повторить доказательство теоремы 5.2, при этом термин окрестность точки заменить на термин правая (левая) -полуокрестность точки .

Пусть функция непрерывна на сегменте и её значения на концах этого сегмента и являются числами разных знаков, тогда внутри сегмента найдётся такая точка , в которой .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что .

Обозначим через . Очевидно, E непустое ограниченное множество, так как и В силу теоремы 2.1 §2 гл. 5 у множества существует точная верхняя грань . Заметим, что не может совпадать с концами сегмента . Действительно, если , то в силу теоремы 5.2 ^’ , существует правая -полуокрестность точки , такая, что для всех . Следовательно, существует точка , такая, что , чего быть не может. Аналогично, из свойств непрерывных функций и определения точной верхней грани, следует, что

Докажем, что . Действительно, если , то в силу теоремы 5.2 найдется -окрестностьточки , в пределах которой будет иметь определенный знак, что невозможно, поскольку по определению точной верхней грани найдется хотя бы одно значение из полусегмента , для которого , а для любого значения из интервала справедливо неравенство. Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-07