Алгоритм вычисления обратной матрицы

Матрица, обратная данной, алгоритм ее вычисления

Определение 1. Квадратная матрица А называется особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю, т.е. ½ A ½=0.

Определение 2. Квадратная матрица А называется неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т.е. ½ A ½¹0.

Определение 3. Матрица А ^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице n -го порядка А, если А × А ^-1=× А ^-1× А = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует (и единственна), тогда и только тогда, когда матрица А неособенная.

1. Находим определитель ½ A ½матрицы А.

Если ½ A ½=0, то А - особенная матрица, А ^-1 не существует.

Если ½ A ½¹0, то А - неособенная матрица, А ^-1 существует.

2. Находим матрицу А ', транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения А ' _ij элементов транспонированной матрицы А ' и составляем из них присоединенную матрицу , т.е. .

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А ^-1, исходя из определения А × А ^-1=× А ^-1× А = Е.

Определение 4. Матрица называется присоединенной по отношению к квадратной матрице n -го порядка А, если ее элементами являются алгебраические дополнения А ' _ij элементов матрицы А ', транспонированной к матрице А,

т.е. , где i =1,2,..., n; j =1,2,..., n.

Необходимость. Пусть матрица А имеет А ^-1, т.е. А × А ^-1=× А ^-1× А = Е. По свойству 10 определителей имеем ½ А × А ^-1 ½=½ А ½×½ А ^-1 ½=½ Е ½=1, Следовательно, ½ А ½¹0 и ½ А ^-1 ½¹0.

Достаточность. Пусть ½ А ½¹0.

Рассмотрим матрицу . По правилу умножения матриц . По определению присоединенной матрицы и свойству 7 определителей , т.е. В - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны ½ А ½.

Аналогично проверяется, что . Итак, в качестве обратной матрицы можно взять матрицу , так как .

Единственность обратной матрицы следует из того, что если некоторая матрица Х удовлетворяет условию обратной матрицы А × Х =× Е, то и .

Дата добавления: 2014-01-07