Понятие о векторном пространстве и его базисе

Векторы. Операции над векторами.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Определение 2. Длиной вектора AB называется число ç AB ç, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Определение 3. Произведением вектора a на число l называется вектор b = l a, имеющий длину ç b ç= l ç a ç, направление которого совпадает с направлением вектора a, если l >0, и противоположно ему, если l <0.

Определение 4. Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a. Вектор c в этом случае представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (правило параллелограмма).

Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора (-1) b.

Определение 5. Координатами вектора a называются координаты его конечной точки, если так переместить вектор параллельно самому себе, чтобы его начало совпало с началом координат

Суммой и разностью векторов a (x ₁, y ₁, z ₁) и b (x ₂, y ₂, z ₂) являются соответственно векторы c = a + b =(x ₁+ x ₂, y ₁+ y ₂, z ₁+ z ₂) и d = a - b =(x ₁- x ₂, y ₁- y ₂, z ₁- z ₂). Произведение вектора a =(x ₁, y ₁, z ₁) на число l, есть вектор b =(l x ₁, l y ₁, l z ₁).

Длина вектора a (x, y, z) вычисляется по формуле ç a ç =

Определение 6. n - мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x ₁, x ₂, … x_n), где x_i есть i -ая компонента вектора x.

Два n -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если x_i = y_i, для = 1, 2, …, n.

Определение 7. Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть z_i = x_i + y_i для = 1, 2, …, n.

Определение 8. Произведением вектора x на действительное число l называется вектор u = l x, компоненты u_i которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора x, т u_i = l x_i для = 1, 2, …, n.

Определение 9. Векторным пространством называется множество векторов R с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам.

Определение 10. Вектор a называется линейной комбинацией векторов a ₁, a ₂, … a_m векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: a = l ₁ ×x_i + l ₂ ×x ₂ + … + l_m×x_m где l ₁, l ₂, … l_m произвольные действительные числа.

Определение 11. Векторы a ₁, a ₂, …, a_m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l ₁, l ₂, … l_m, не равные нулю одновременно, что l ₁ ×x_i + l ₂ ×x ₂ + … + l_m×x_m = 0. В противном случае векторы a ₁, a ₂, …, a_m называются линейно независимыми.

Определение 12. Линейное пространство R ⁿ называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Определение 13. Совокупность n линейно независимых векторов n -мерного пространства R ⁿ называется базисом.

Дата добавления: 2014-01-07