ЛЕКЦИЯ 6. Тема 5: Предел и непрерывность

Тема 5: Предел и непрерывность

Тема 6: Производная

ПЛАН

1. Второй замечательный предел, число е.

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3. Производная и её геометрический смысл.

4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

1. Второй замечательный предел, число е

Рассмотрим последовательность . Вычислим a ₁=2, , ,…. Можно доказать, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, имеет предел (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Обозначим предел буквой е.

Определение 1. Числом e называется предел последовательности .

Известно, что число e является иррациональным числом и e =2,718281828459045…

Можно доказать также, что . Этот предел и называется вторым замечательным пределом. Обратим внимание, что переменная x принимает значения произвольного знака, следовательно, и .

Замечание 1. Второй замечательный предел широко используется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида (1^¥).

Замечание 2. Второй замечательный предел часто используется в другой форме. Обозначим 1/ x = y, тогда x =1/ y (x®¥ Û y ®0). Следовательно, .

Известно, что логарифмическая функция y =log _ax является обратной к показательной функции y = a^x.

Определение 2. Натуральным логарифмом (логарифмической функцией с основанием e) называется функция, обратная к показательной функции y = е^x и обозначается y =ln x.

Напомним основные свойства функции y =ln x:

1) область определения функции ¾ промежуток (0;+¥);

2) множество значений функции ¾ вся числовая прямая (-¥;+¥);

3) функция ln x возрастает на (0;+¥);

4) функция ln x непрерывна в любой точке x Î(0;+¥);

5) , .

Дата добавления: 2014-01-07