Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать)

Тема 9. Неопределенный интеграл

Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, обратной ей. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и ее единственность.

После введения операции дифференцирования естественен вопрос об операции, обратной ей, которая называется операцией интегрирования.

Многие задачи естествознания приводят к необходимости отыскания функции по заданной производной этой функции. Например, нахождение закона движения материальной точки по заданной ее скорости или нахождение скорости материальной точки по заданному ее ускорению (которое, согласно второму закону Ньютона, можно определить по действующей на эту точку силе).

Определение 1. Пусть определена на промежутке I. Функция F называется первообразной для функции f на I, если для всех .

Так, функция есть первообразная функциина R.

С другой стороны, теорема Дарбу (функция принимает на все значения между и ) позволяет легко строить примеры функций, которые не имеют первообразных. Далее будет доказано, что всякая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную.

Теорема 1. Пусть F - первообразная функции f на I. Тогда:

1) для любого функция является первообразной функции f на I;

2) если функция Ф также является первообразной функции f на I, то для некоторого числа .

Дата добавления: 2014-01-07