Свойства сходящихся рядов

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда.

Тема 12. Числовые ряды

Определение 1. Если члены числовой последовательности (a_n) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а ₁+ а ₂+ а ₃+ … + a_n + … называется числовым рядом.

Числовой ряд будем также записывать символом или просто . Число а_n называется n- м или общим членом ряда.

Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно писать, например, вместо выражения .

Определение 2. Сумма первых п членов числового ряда называется n -ой частичной суммой ряда и обозначается S_n = а ₁+ а ₂+ а ₃+ … + a_n.

По определению имеем S ₁= a ₁, S ₂= a ₁+ a ₂, S ₃= a ₁+ a ₂+ a ₃ и т.д.. Возникает новая числовая последовательность (S_n).

Определение 3. Если последовательность (S_n) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числу S Î R, то этот числовой ряд называется сходящимся.

Определение 4. Если числовой ряд сходится, то число называется суммой числового ряда и пишут S =или S = a ₁+ a ₂+ a ₃+ … + а_n +....

Итак, символом будем обозначать и числовой ряд, и его сумму (если ряд сходится).

Подчеркнем, что S не есть "сумма всех членов ряда", а является пределом последовательности его частичных сумм, т.е. .

Определение 5. Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность (S_n) его частичных сумм расходится.

Определение 6. Суммой двух числовых рядов и называется числовой ряд .

Теорема 1. Если числовые ряды и сходятся и имеют суммы A и B, то числовой ряд также сходится и имеет сумму A + B.

Определение 7. Произведением числового ряда на число k Î R называется числовой ряд .

Теорема 2. Если числовой ряд сходится и имеет сумму A, то числовой ряд также сходится для любого k Î R и имеет сумму k×A.

Для исследования числовых рядов на сходимость имеется ряд признаков. Далее рассмотрим некоторые из них.

Дата добавления: 2014-01-07