Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формулы полной вероятности и Байеса являются следствием двух основных теорем теории вероятностей: теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей

Формулы полной вероятности и Байеса являются следствием двух основных теорем теории вероятностей: теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей.

Теорема 1. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий А₁, А₂,..., А_n, образующих полную группу событий, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события F:

.

Доказательство. События А ₁, А ₂,..., А_n образуют полную группу событий, следовательно, они единственно возможные и несовместимые.

Событие F может произойти только при условии появления одного из этих событий:

F = А ₁ F + А ₂ F +... + А_nF.

По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий получаем

.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий для каждого i =1, 2, …, n имеем

.

Из последних двух формул следует формула полной вероятности. Теорема доказана.

Формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку вероятностей событий Р (А_i) (i = 1, 2,..., п), известных до испытания, лишь после того, как событие F произошло, т.е. найти условные вероятности событий Р_F (А_i), получаемые после проведения испытания.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий для каждого i =1, 2, …, n имеем

.

Следовательно: .

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события F, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

Дата добавления: 2014-01-07