Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях при достаточно большом числе п, приближенно равна

, где и .

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq ³20;

значение f (x) определяется по таблице (приложение I в учебном пособии [1]).

Пользуясь таблицей, можно применять очевидные свойства функции f (x):

1. Функция f (x) является четной, т.е. f (- x)= f (x).

2. Функция f (x) убывает на промежутке [0;+¥).

3. f (x)®0 при ®+¥. Практически можно считать, что f (x)»0 уже при x >4.

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления событие А в п независимых повторных испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна

,

где ; и .

F(х) – функция Лапласа, табулированная в приложении II.

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq ³20.

Пользуясь таблицей, можно применять свойства функции F(х):

1. Функция F(х) является нечетной, т.е. F(- х)= -F(х).

2. Функция F(х) возрастает на R.

3. F(х)®1 при ®+¥. Практически можно считать, что F(х)»1 уже при x >4.

Рассмотрим следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых повторных испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от среднего значения пp не более, чем на величину e>0 (по абсолютной величине), приближенно равна

;

б) частость события А заключена в пределах от a до b (включительно), приближенно равна

, где и ;

в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину D>0 (по абсолютной величине), приближенно равна

.

Условия применения формул совпадают с условиями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq ³20.

Дата добавления: 2014-01-07