Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Биномиальный закон распределения и закон Пуассона

Доказательство.

Если Х –дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону, то частость события есть . Следовательно,

, .

Определение 1. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами p и n, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями

,

где 0< p <1, q =1- p, m = 0, 1, 2, …, n. Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

X: xi       ¼ m ¼ n
pi qn ¼ ¼ pn

Заметим, что

.

Вспоминая формулу Бернулли, можно сделать вывод о том, что биномиальный закон распределения является законом распределения числа X = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью p.

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M (X)= n × p, а ее дисперсия равна D (X)= n × p × q.

Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х = Х 1+ Х 2+…+ Хk +…+ Хn, где случайная величина Хk выражает число наступлений события А в k -ом испытании (k = 1, 2, …, n) и имеет закон распределения

  X k: xi    
pi q p

Вычислим математическое ожидание M (Xk) = x 1× p 1 + x 2× p 2 = 0× q +1× p = p и дисперсию

D (Xk) = (x 1- p)2× p 1 + (x 2- p)2× p 2 = (0- p)2× q + (1- p)2× p = p 2× q + q 2× p = p × q × (p+q) = p × q.

Следовательно, M (X)= M (X 1)+ M (X 2)+…+ M (Xn) = p + p +…+ p = n × p,

D (X)= D (X 1)+ D (X 2)+…+ D (Xn) = p × q + p × q +…+ p × q = n × p × q. Теорема доказана.

Определение 2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром l, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное но счетное множество значений) с вероятностями

,

где m = 0, 1, 2, …. Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

  X: Xi       ¼ m ¼
pi e -l l × e -l ¼ ¼

Заметим, что .

Теорема 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны параметру l, т. е. M (X)= l и D (X)= l.

Доказательство. Вычислим математическое ожидание случайной величины Х по формуле .

.

Дисперсию случайной величины Х вычисляем по формуле

.

.

Следовательно, D (X) = (l 2 + l) - l 2 = l. Теорема доказана.

Замечание 1. При достаточно больших значениях n и малых значениях p при условии, что произведение np ® l, закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона. Так как при этом вероятность p наступления события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений.


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства | Функция распределения случайной величины, ее свойства и график
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1418; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.