Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ковариация и коэффициент корреляции




Две дискретные случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое конкретное значение приняла вторая случайная величина. Теперь можно дать общее определение независимости непрерывных случайных величин Х и У.

Определение 1. Случайные величины Х и У называются независимыми, если их совместную функцию распределения F(х,у) можно представить в виде произведения двух функций распределения F1(x) и F2(y) этих случайных величин, т.е.

F(х,у) = F1(x) F2(y).

Если равенство не выполняется, то случайные величины называются зависимыми.

При изучении двумерных случайных величин иногда достаточно знать числовые характеристики их одномерных составляющих Х и У: математические ожидания и дисперсии, которые вычисляются по формулам:

ах = М(Х) = х(х,у)dxdy,

ау = М(У) = у(х,у)dxdy,

D(Х) = (х- ах)2(х,у)dxdy,

D(У) = (у- ау)2(х,у)dxdy.

Для определения степени зависимости между случайными величинами Х и У, вычисляют ковариациюи коэффициент корреляции.

Определение 2. Ковариацией ( или корреляционным моментом ) Кху случайных величин Х и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.

Кху = М[(Х – М(Х))(У – М(У))] = М[Х - ах)(У - ау)].

Из определения следует, что Кху = Кух.

Последняя формула принимает вид:

а) для дискретных случайных величин:

Кху = (xi - ах)(yj - ау)pij;

б) для непрерывных случайных величин:

Кху = (х - ах)(у - ау) (х,у)dxdy.

Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимости между ними, так и их рассеяние вокруг точки (ах, ау). Об этом же свидетельствуют свойства ковариации случайных величин.

1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения без произведения их математических ожиданий, т.е.

Кху = М(ХУ) – М(Х)М(У) = М(ХУ) - ах ау.

3. Ковариация двух случайных величин по модулю не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.

х у.

Ковариация величина размерная и определяется размерностью случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости для различных случайных величин. Этих недостатков лишён коэффициент корреляции.

Определение 3. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называют отношение ковариации к произведению их средних квадратических отклонений:

ху = .

Из определения следует, что ху = ух = и коэффициент корреляции – величина безразмерная.

Основные свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицу, т.е.

-1 ≤ ≤ 1.

2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. = 0.

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Итак, из независимости случайных величин следует их некоррелированность.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверное: из некоррелированности двух случайных величин ещё не следует их независимость.

3. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен 1 (по модулю), то между ними существует линейная функциональная зависимость.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1392; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.