Закон больших чисел. Теорема Бернулли и ее практическое значение

Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

,

или

.

Доказательство. По неравенству Чебышева для частости события

.

Но . Теорема доказана.

Отметим, что термин "закон больших чисел" ввел Пуассон, доказавший теорему (1837 г.), являющуюся непосредственным обобщением теоремы Бернулли.

Теорема Пуассона. Частость события в n повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р ₁, р ₂, …, р_n, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей события в отдельных испытаниях:

.

Русский математик А.А. Марков (1856-1922) предложил применять название "закон больших чисел" ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли, в которых устанавливается приближение средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

В широком смысле под термином "закон больших чисел" понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая.

Дата добавления: 2014-01-07