Пример 4.2.1

1. {0} и K – тривиальные подкольца произвольного кольца (K, +, ×), все остальные подкольца в K называются нетривиальными или собственными.

2. (n Z, +, ·), – подкольцо кольца (Z, +, ·). Это подколько – кольцо без единицы при , хотя само кольцо (Z, +,·) обладает единицей.

3. (Z, +, ·) < (Q, +, ·) < (R, +, ·) < (C, +, ·).

4. (Z) < (Q) < (R) < (C) для .

5. Матричное кольцо M ₂(R) содержит подкольцо матриц , а оно, в свою очередь, содержит подкольцо скалярных матриц . Это коммутативные подкольца некоммутативного кольца M ₂(R). Также подкольцами M ₂(R) являются множества матриц , , , . ·

Определение 4.2.2. Непустое подмножество D, D Í P, поля (P, +, ×) называют подполем поля P, если D само является полем, то есть

1) D – подкольцо кольца P;

2) для " d Î D, d ¹ 0, Þ d ^–1Î D.

В этом случае поле (P, +, ×) называется расширением поля (D, +, ×). Последовательность расширений полей P ₁ Í P ₂ Í … Í P_n, где n Î N _³3, называется башней расширений полей.

Например, (Q, +, ·) – подполе (R, +, ·) и (C, +, ·), а (R, +, ·) – подполе (C, +, ·) согласно примеру 3 из 4.2.1 и определению 4.2.2. Поэтому Q Ì R Ì C – башня расширений полей.

В теории колец наибольшее значение имеют подкольца специального вида, которые называются идеалами.

Определение 4.2.3. Подкольцо J кольца K называется левым идеалом кольца (K, +, ×), если для любых k Î K и j Î J выполняется j × k Î J то есть . Если же для всех k Î K, то J называют правым идеалом кольца. Двусторонний идеал кольца – идеал, являющийся одновременно и левым, и правым. Обозначение двустороннего идеала: J K.

Ясно, что в коммутативном кольце все идеалы двусторонние.

Дата добавления: 2014-01-07