Пример 4.2.2

1. {0} и K – тривиальные двусторонние идеалы любого кольца (K, +, ×).

2. m Z = { mq | q Î Z } – двусторонний идеал кольца целых чисел (Z, +, ×) для всякого целого числа m. Отметим, что для – m Z = m Z. Очевидно m Z ¹ Z, если | m | ¹ 1. Ясно, что, например, Z 2 Z 4 Z 8 Z 16 Z …, Z 2 Z 6 Z 18 Z ...

3. В кольце (Z /n Z, +, ×) c составным n = p × q, где 1 < p, q < n, множество классов вычетов замкнуто относительно операций сложения и умножения классов вычетов и, следовательно, образует подкольцо. Обозначим его через . Легко видеть, что – двусторонний идеал. Аналогично, двусторонним идеалом является множество .

4. В матричном кольце M ₂(R) подкольца J ₁ и J ₂ – правые идеалы (можно убедиться, что не левые), а J ₃ и J ₄ – левые идеалы (можно убедиться, что не правые). ·

Определение 4.2.4. Для каждого элемента a кольца (K, +, ×) множество aK = { a × k | k Î K } есть левый идеал кольца K, называемый главным левым идеалом, порожденным элементом a. Аналогично определяется главный правый идеал, порожденный элементом а, Ka. Двусторонний главный идеал, порожденный элементом а, является одновременно левым и правым, он обозначается < a >.

Определение 4.2.5. Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

В собственных идеалах не может быть обратимых элементов колец, так как иначе 1 Î J, тогда J = K, что приводит к противоречию. Поскольку в поле все элементы, кроме 0, обратимы, то в поле нет собственных идеалов. С другой стороны, необратимые элементы кольца, в том числе и делители нуля, порождают главные собственные идеалы. Отсюда, в частности, также следует, что в поле нет делителей нуля.

Теорема 4.2.1. (Z, +,·) – кольцо главных идеалов.

В (Z, +,·), как в коммутативном кольце, все идеалы являются двусторонними.

1. J = {0} – главный идеал. Действительно, {0} = < 0 > = {0· k | k Z }.

2. Пусть теперь идеал J ¹ {0}. Докажем, что если t – наименьшее натуральное число из J, то < t > = J.

Так как t J, то < t > = { k × t | k Z } J. Пусть m J, согласно теореме 1.1.1 справедливо представление m = q × t + r, где q, r Z, 0 r < t. Тогда m – q × t = r, и если r 0, то в J содержится натуральное число r, меньшее t. Итак, m = q × t, таким образом, m Î < t >, следовательно, J < t >. Поэтому, J = < t >.

Замечание. Согласно теореме 4.2.1 все идеалы J кольца (Z, +,·) имеют вид < t >, где t = 0 или t – наименьшее натуральное число из J. Поскольку < t > = t Z = – t Z = < – t >, как уже отмечалось в примере 2 из 4.2.2, в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением идеалов кольца (Z, +,·) вида < t >, где t Î Z _³0.

Определение 4.2.6. Собственный идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом собственном идеале данного кольца.

Рассмотрим вопрос о максимальности идеалов в кольце (Z, +, ×), которое согласно теореме 4.2.1 является кольцом главных идеалов. Очевидно, что идеал < m > является собственным в (Z, +, ×) Û m > 1.

Теорема 4.2.2. Идеал < m > максимален в (Z, +, ×) тогда и только тогда, когда m – простое число.

Необходимость. Пусть < m > – максимальный идеал в (Z, +, ×). Если m – составное число, то m = n × q, где 1< n, q < m, и m Î < n >, но n Ï < m >, поскольку . Следовательно, < m > Ì < n > ¹ Z, что противоречит максимальности идеала < m >. Поэтому, m – простое число.

Достаточность. Пусть m – простое число. Рассмотрим идеал < m > в (Z, +, ×). Если < m > – не максимальный идеал, то , 1< n, такое, что < m > Ì < n > ¹ Z. Тогда m = n × q для некоторого q Î N, 1< q, что противоречит тому, что число m простое. Значит, < m > – максимальный идеал в (Z, +, ×).

Дата добавления: 2014-01-07