Пример 4.2.1. Подкольца. Идеалы колец

Подкольца. Идеалы колец

Определение 4.2.1. Подкольцо кольца (K, +, ×) – это подгруппа L аддитивной группы (K, +), в свою очередь являющаяся кольцом, то есть для " l ₁, l ₂ Î L выполняются свойства:

1) l ₁ – l ₂ Î L;

2) l ₁ × l ₂ Î L.

Обозначения: L £ K или L < K, если L Ì K.

Очевидно, что для любого кольца (K, +, ×) подмножества {0} и K являются подкольцами.

Определение 4.2.2. Подкольцо L кольца K называется собственным или нетривиальным, если L ¹ K и L ¹ {0}.

1. (n Z, +, ×) при " n Î Z – подкольцо кольца (Z, +, ×). Это подкольцо – кольцо без единицы при 1 < | n |, хотя само кольцо (Z, +, ×) обладает единицей 1.

2. (Z, +, ×) < (Q, +, ×) < (R, +, ×) < (C, +, ×).

3. M_n (Z) < M_n (Q) < M_n (R) < M_n (C) для " n Î N.

4. Матричное некоммутативное кольцо M ₂(C) с единицей E ₂ и делителями нуля содержит подкольцо матриц , а C, в свою очередь, содержит подкольцо скалярных матриц . C – коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, S – поле. Подкольцами M ₂(C) являются множества матриц , , , . J ₁– J ₄ – кольца без единицы и с делителями нуля. ·

Определение 4.2.3. Непустое подмножество D, D Í P, поля (P, +, ×) называют подполем поля P, если D само является полем, то есть

1) D – подкольцо кольца P;

2) для " d Î D, d ¹ 0, Þ d ^–1 Î D.

В этом случае поле (P, +, ×) называется расширением поля (D, +, ×). Последовательность расширений полей P ₁ Í P ₂ Í…Í P_n, где n Î N _³3, называется башней расширений полей.

Пример 4.2.2. (Q, +, ×) – подполе (R, +, ×) и (C, +, ×), а (R, +, ×) – подполе (C, +, ×) согласно пункту 2 примера 4.2.1 и определению 4.2.3. Поэтому Q Ì R Ì C – башня расширений числовых полей. ·

В теории колец наибольшее значение имеют подкольца специального вида, которые носят названия идеалов.

Определение 4.2.4. Подкольцо J кольца K называется левым идеалом кольца (K, +, ×), если для любых k Î K и j Î J выполняется условие: j × k Î J, то есть . Если же для всех k Î K, то J называют правым идеалом кольца. Двусторонний идеал кольца – идеал, являющийся одновременно и левым, и правым. Обозначение двустороннего идеала: J K.

Ясно, что в коммутативном кольце все идеалы двусторонние.

Легко видеть, что {0} и K – тривиальные двусторонние идеалы любого кольца (K, +, ×).

Дата добавления: 2014-01-07