Интерполирование полиномами

в общем виде уравнение полинома

имея n значений x b y можно определить все значения коэффициентов и, соответственно любую промежуточную точку.

Пусть (x₁,y₁), (x₂,y₂),..., (x_n,y_n) – последовательность точек, заданных на плоскости, причём x_i ¹ x_j, при i¹j. Формулу интерполяционного полинома (n-1)- степени можно представить в виде

(1)

Основным недостатком интерполирования с помощью полиномов является значительное отклонение кривой между точками – узлами интерполирования. (рис)

Уравнение полинома (1) представляет интерполяционную формулу Лагранжа. Для решения задач КГ более подходит параметрическая формула

. (2)

(3)

В случае, когда к заданным точкам добавляются новые точки интерполяции, рекомендуется использовать интерполяционный полином Ньютона

где h- шаг интерполяции;

Dy_i =y_i+1- y_i (i=0,1,2,…) – конечная разность (11)

Важным преимуществом этого полинома является то, что добавление новых точек интерполяции приводит только к добавлению новых членов в уравнении (3), предыдущие вычисления остаются без изменений.

В случае, когда заданы не только функции, но и касательные в заданных точках, применяются интерполяционные полиномы Эрмита, являющиеся обобщением интерполяционных полиномов Лагранжа

(4)

где – полином Лагранжа.

Полиномиальную интерполяцию имеет смысл применять лишь для небольшого числа точек (не более пятнадцати) из-за того, что с числом точек растёт степень полинома и имеют место большие осцилляции в промежутках между заданными точками.

Недостатки полиномной кривой устранены в сплайнах и кривой Безье.

Дата добавления: 2014-01-07