Семейства нечётких множеств

Семейства нечётких множеств – это есть множества, элементами которого являются нечёткие множества.

Если {Ay} - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности m(x,y), где _y – параметр семейства.

5. Характеристики связности нечетких объектов и их матричная интерпретация; меры «организованности» нечетких объектов.

Основное, что характеризует проблемы, стоящие перед человеком двадцатого века, будь то политика, экономика, наука – это сложность и неопределенность. Именно эти факторы стали катализатором проведения современных исследований процессов принятия решений. С методологической точки зрения теория управления представляет значительный интерес в плане использования современных математических методов для исследования деятельности практически действующего и познающего социального субъекта. При этом расширение круга вопросов человеческой практики, где математика может оказаться эффективной, часто тормозится рядом предубеждений. Так, люди, не владеющие математическими методами, иногда думают, что любая проблема может быть переведена на язык математики, и, следовательно, решена ее средствами. Часто высказывается и противоположная точка зрения. Например, Норберт Винер считал принцип неопределенности настолько существенной особенностью социальных систем, что, по его мнению, математический аппарат, разработанный для описания физических и даже биологических процессов, вообще не пригоден для социально-экономических объектов.

Отметим, что очень часто неопределенность отождествляют лишь с отсутствием полной информации о том или ином объекте. На самом деле, незнание состояний объекта, относительно которого принимается решение, не является единственной неопределенностью, обусловленной субъективными причинами. Наряду с этим можно назвать "неопределенность желаний" или целей, а также неопределенность критериев выбора решения. Действительно, во многих практических ситуациях сложность принимаемых решений определяется прежде всего двумя факторами: количеством альтернативных вариантов и количеством и разнородностью критериев оценки этих вариантов. В слабоструктурируемых проблемах принятия решений, где качественные, плохо определенные факторы имеют тенденцию доминировать, критерии оценки альтернатив носят, как правило, субъективный характер в том смысле, что сам набор критериев может быть определен только на основании предположений Лица, Принимающего Решения (далее будем употреблять аббревиатуру – ЛПР). Термин "слабоструктурируемые проблемы" (ill-structured) был введен Г.Саймоном [5]. Представляется достаточно очевидным, что такой класс проблем охватывает широкий спектр реальных ситуаций.

Можно выделить несколько основных типов неопределенностей в задачах принятия решений:

– объективная неопределенность ("неопределенность природы");

– неопределенность, вызванная отсутствием достаточной информации (гносео-логическая неопределенность);

– стратегическая неопределенность, вызванная зависимостью от действий других субъектов управления (партнеров, противников, организаций и т.п.);

– неопределенность, порожденная слабоструктрурируемыми проблемами;

– неопределенность, вызванная нечеткостью, расплывчатостью как процессов и явлений, так и информации, их описывающей.

Заметим, что в управленческих задачах могут присутствовать несколько видов неопределенности. Эффективность поиска оптимальных решений существенно зависит от методов описания и анализа имеющейся в задаче неопределенности, насколько адекватно эти методы могут отразить реальную ситуацию. Исторически первыми появились вероятностно-статистические методы, и на сегодняшний день они являются наиболее развитыми. Эти методы описания и анализа неопределенности являются основой для принятия решений в условиях риска, а большинство задач, решаемых людьми как в деловой сфере, так и в обыденной жизни, имеют рискованный характер. Несмотря на развитие вероятностных методов, они не могут являться универсальным средством для описания всех типов неопределенностей в задачах принятия решений. Это относится, прежде всего, к слабоструктурируемым проблемам и задачам с нечеткой исходной информацией.

Рассмотрим подробнее тот тип неопределенности в задачах принятия решений, который связан с нечеткими, качественными (нежесткими, неточными, расплывчатыми) свойствами процессов и явлений. Этот вид неопределенности характерен для экономических, социальных и других систем, в функционировании которых участвует человек. В таких системах часто имеет место ситуация, когда объекты исследования, условия задачи, цели не могут быть описаны точно. Неточность измерения и, как следствие, нечеткость описания реальных объектов является естественной. Однако, не смотря на такую нечеткость, в практических ситуациях обычно удается получить определенное представление об этих объектах и решать поставленные задачи. Например, следующие нечеткие утверждения типа " А существенно меньше В ", или "На фондовом рынке наблюдается значительный рост" все же несут достаточную информацию.

Многочисленные исследования процессов принятия решений убедительно показывают, что человеку несвойственно мыслить и принимать решения только в "количественных" характеристиках. Он мыслит прежде всего “качественно”, и для него поиск решений, прежде всего поиск замысла решения, и здесь количественные оценки играют вспомогательную роль. Формализация нечетких понятий – одна из главных задач, которую надо решать при разработке моделей принятия решений в сложных, неопределенных ситуациях. В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний. Логика была призвана исключить нестрогость, неоднозначность из рассуждений. Следующий этап в преодолении неопределенности, имеющей случайный характер, связан с теорией вероятностей. Затем возникла потребность в теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивающей возможность продвинуться в познании процессов принятия решений, содержащих такие понятия. Вопрос о том, как обрабатывать нечеткости, перекликается с вопросом о том, каким образом ввести в формальные модели управления субъективизм человека.

Принципиально новый шаг в развитии и применении методов принятия решений связан с появлением теории нечетких множеств. В 1965 г. в журнале “ Informa-tion and Control ” появилась статья Л.Заде, которая называлась "Fuzzy Sets" [7]. Название нового объекта, который рассматривается в работах Заде, было придумано им самим. При переводе этого термина на другие языки возникло немало трудностей из-за неоднозначности термина “fuzzy”. На русский язык, например, его переводили и как “нечеткий”, и как “размытый”, и как “расплывчатый”, и даже как “неопределенный”. Первый из переводов со временем занял доминирующее положение в литературе, хотя встречаются и другие варианты.

Основная идея Л.Заде состояла в том, что человеческий способ рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть описан в рамках традиционных математических формализмов. Этим формализмам присуща строгая однозначность интерпретации, а все, что связано с использованием естественного языка, имеет многозначную интерпретацию. Поэтому обычные количественные методы анализа не эффективны при анализе гуманистических систем (термин Л.Заде), т.е. систем, в которых существенная роль принадлежит суждениям и знаниям человека. Как правило, такие системы являются слабоструктурируемыми и гораздо более сложны, чем механистические системы, поведение которых допускает численное описание. Л.Заде подчеркивает, что по мере возрастания сложности системы наша способность формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведении уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым точность и смысл становятся взаимоисключающими [8]. Этот принцип несовместимости связан со способом восприятия и рассуждений человека. В его основе лежат обобщенные, схематизированные, а следовательно, неточные субъективные представления о реальности.

Программа Л.Заде состояла в построении новой математической дисциплины, в основе которой лежала бы не классическая теория множеств, а теория нечетких множеств. Последовательно проводя идею нечеткости, по мнению Л.Заде, можно построить нечеткие аналоги основных математических понятий и создать необходимый формальный аппарат для моделирования человеческих рассуждений и человеческого способа решения задач.

В фундаменте теории Л.Заде лежит достаточно очевидный факт – субъективные представления о цели всегда нечетки. Но он делает и следующий шаг, полагая, что оценки и ограничения субъекта также, как правило, нечетки, а иногда и вообще лишены в своем начальном виде количественных характеристик. В качестве средства математического моделирования неопределенных понятий, которыми оперирует человек при описании своих представлений о какой-то реальной системе, своих желаний, целей и т.п. – выступает нечеткое множество. В этом понятии учитывается возможность постепенного перехода от принадлежности к непринадлежности элемента множеству. Иными словами, элемент может иметь степень принадлежности множеству, промежуточную между полной принадлежностью и полной непринадлежностью.

Надо сказать, что программа построения нечеткой математики быстро нашла отклик среди ученых. Исследования стали развиваться в двух основных направлениях. Часть исследований устремилась “вширь”, вводя в рассмотрение нечеткие обобщения таких фундаментальных понятий математики, как функция, отношение, предикат. Появились нечеткие уравнения и нечеткие интегралы, нечеткая логика и нечеткая топология и многие другие подобные области. Другие исследования устремились “вглубь”. Их целью было выявление самой природы нечеткости, возможности ввести нечеткие объекты не только на основе нечетких множеств Л.Заде, а каким-либо иным способом. Оба эти направления породили огромное количество работ.

Принципиальной особенностью, отличающей развитие теории нечетких множеств, является ее прикладная направленность. Истоки такого подхода заложены работами Л.Заде, основной прагматической целью которого было создание аппарата, способного моделировать человеческие рассуждения и объяснять человеческие приемы принятия решений. Поскольку в реальных ситуациях принятия решений цели, ограничения, критерии в большей части субъективны и точно не определены, то и при построении моделей принятия решений возникает необходимость использования нечеткой логики, нечетких множеств и отношений. Нечеткие отношения позволяют моделировать плавное, постепенное изменение свойств, а также неизвестные функциональные зависимости, выраженные в виде качественных связей. Нечеткие алгоритмы, допускающие использование нечетких инструкций, широко распространенных в различных сферах человеческой деятельности, позволяют описывать приближенные рассуждения и, следовательно, являются полезным инструментом для приближенного анализа таких систем и процессов принятия решений, которые слишком сложны для применения общепринятых количественных методов.

Обоснование своего подхода Л.Заде начал именно с противопоставления понятий “неточности” и “случайности”. Он поставил под сомнение интуитивно принимаемое допущение, что неточность независимо от ее природы может быть отождествлена со случайностью. По его мнению, следует различать случайность и нечеткость, так как именно нечеткость является основным источником неточности во многих процессах принятия решений. Под нечеткостью при этом понимается тот тип неточности, который связан с такими классами объектов, в которых нельзя указать определенную границу, отделяющую элементы, принадлежащие к данному классу, и элементы, ему не принадлежащие. Например, в класс мягких предметов входят предметы, мягкие в различной степени.

Критики подхода Л.Заде задают вопрос: “Что же нового в теории нечетких множеств? Всему этому хорошо служит теория вероятностей”. НО не всегда можно построить вероятностное пространство эксперимента.

Важно подчеркнуть, что теория нечетких множеств не призвана конкурировать с теорией вероятностей и статистическими методами, она заполняет пробел в области структурируемой неопределенности там, где нельзя корректно применять статистику и вероятность. Методы, основанные на подходе Л.Заде, не могут дать окончательного критерия отбора, их задача – отбросить неконкурентноспособные, выделить наиболее перспективные. Подытоживая приведенные рассуждения, можно сказать, что использование методов теории нечетких множеств, позволяет “сжать” множество возможных альтернатив.

Дата добавления: 2014-01-07