Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обусловленность численного дифференцирования

Поскольку при численном дифференцировании вычитаются два близких числа, то данная задача плохо обусловлена.

Пусть | y”’(x)| £ М3 и абсолютная погрешность вычисления у (х) не превосходит Е. Тогда при использовании формулы (4.2) для вычисления у ’(x 1) справедлива оценка

. (4.5)

Величина обусловленности представляет собой коэффициент при Е, следовательно, nD = 1/ h.

Для улучшения обусловленности можно увеличить h, однако при этом увеличивается погрешность аппроксимации. Следовательно, нужно подобрать оптимальное значение h, при котором D(y’) = min. Из (4.5) имеем:

= 0.

Отсюда при использовании формулы (4.2) для вычисления у ’(x 1) справедливы оценки:

; DЧИСЛ. ДИФФ. £ 1.04. (4.6)

Пример 4.2. Вычислим значение производной функции у (x) = e x по формуле (4.2) в точке х = 1 при различных значениях h на ЭВМ, вычисляющей с точностью до 6 значащих цифр. Результаты – в таблице 4.1.

Таблица 4.1
Численное дифференцирование у = ех при различных h
h 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0001
y ’(x) 2.72285 2.7194 2.7186 2.7185 2.719 2.72 2.7
D(y ’*) 4.57×10–3 1.12×10–3 3.18×10–4 2.18×104 7.18×104 1.72×10–3 –0.018

Рис. 4.1. Погрешности численного дифференцирования у = ех при различных h (логарифмический масштаб)

 

На рис. 4.1 данные таблицы приведены в графическом виде с использованием логарифмического масштаба по обеим осям (Ох – lg(h), Oy – lg(D)).

Из рисунка видно, что минимальная погрешность имеет место при h» 0.01 (lg h = –2). Вычисления по формулам (4.6) дают близкий результат:

= 0.01033.

Пример 4.3. Вычислить значение первой производной функции у (х) = ln x по формуле (4.2) в точке х = 1.2 с оптимальным выбором шага. Положить Е = 10 –11.

Для вычисления оценки y ”’(x) воспользуемся формулой . Построим таблицу разделенных разностей у (х) при хi = 1; 1.2; 1.4; 1.6. Получим D3 = 0.1573. Отсюда

h opt == 3.167722 × 10 – 4; DЧИСЛ. ДИФФ. £ 4.335 × 10 –8.

По второй из формул (4.2) получаем

y ’(1.2)» =0.833333352. Сравнивая с реальным значением , приходим к выводу, что погрешность численного дифференцирования не превзошла оценочную.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Оценка погрешности численного дифференцирования | Формулы для высших и частных производных
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 359; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.