Основные понятия. Решение ОДУ – одна из наиболее популярных вычислительных задач, она возникает во многих приложениях

Уравнений (ОДУ)

Решение ОДУ – одна из наиболее популярных вычислительных задач, она возникает во многих приложениях.

ОДУ – это уравнение вида

F(x, y, ,…) = 0 (5.1)

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей используемой производной. Решение дифференциального уравнения – это функция у = у(х), которая при подстановке в уравнение (1) превращает его в тождество.

Уравнение (1) не имеет однозначного решения, чтобы получить его, надо помимо самого уравнения задать дополнительные условия. По типу дополнительных условий различают одноточечные и многоточечные задачи. В одноточечных задачах все условия задаются в одной точке (при одном и том же х). Обычно это начальная точка х₀. В этом случае говорят, что поставлена задача Коши.

Пример 5.1. Задача Коши:

.

В многоточечной задаче дополнительные условия задаются в нескольких точках. Часто это границы отрезка определения решения. Тогда говорят, что поставлена краевая задача.

Пример 5.2. Краевая задача:

.

Несложно убедиться, что задачи примеров 5.1 и 5.2 имеют одинаковое решение у = 1.125 е^2х – 0.125 е^–2х – 2х.

Наиболее важной является задача Коши для уравнения 1-го порядка – к ней сводятся многие другие задачи.

Аналитическое решение ОДУ – это аналитически заданная функция у(х) (см. примеры 5.1 и 5.2). Численное решение – таблица значений функции у(х) в дискретных точках (в узлах). Так численное решение задач примеров 5.1 и 5.2 является таблица 5.1.

Таблица 5.1.
Численное решение примеров 5.1 и 5.2
х		0.2	…	2.0
у		1.1945	…	57.4206

Дата добавления: 2014-01-07