Формула трапеций

End.

Begin

Текст программы

Uses Crt;

const k = 2; { Число уравнений }

type mX = array[1..k] of real;

var x, x0, xN, h: real;

y, f1, f2, yPR: mX;

j, i, N: integer;

procedure fun(x:real; y:mX; var f:mX); { Правые части системы }

begin f[1]:= –y[2] + x*x;

f[2]:= y[1] + exp(x);

end;

begin ClrScr; { Головная программа }

x0:= 0; xN:= 1; y[1]:= –0.5; y[2]:= –1.5; h:= 0.1;

N:= round((xN – x0) / h); { Число точек решения}

x:= x0;

writeln(x:10:5, y[1]:12:5, y[2]:10:5);

for i:= 1 to N do

fun(x, y, f1);

for j:=1 to k do yPR[j]:= y[j]+ h*f1[j]; { Прогноз }

{ Результат }

fun(x+h, yPR, f2);

for j:=1 to k do y[j]:=y[j]+0.5*h*(f1[j]+f2[j]);

x:= x0 + i*h;

writeln(x:10:5,y[1]:12:5,y[2]:10:5);

readln;

end;

1.1. Вывод формулы. Пусть функция f(x) интерполируется на [a, b] многочленом 1-й степени: F(x) = P₁ (x) = y₀ + (х – x₀) ×D₁[x₀, x₁], где x₀ = a, x₁= b. Обозначим h = x₁–x₀. Или Тогда

I*=.

Сделаем замену переменных t = x – x₀, получим

I*== =

После интегрирования и преобразования получим следующую формулу:

» [f(a) + f(b)] = [f(x₀) + f(x₁)] = I*, (4.1)

называемой формулой трапеций. Геометрически она означает замену площади криволинейной трапеции обычной трапецией (рис. 4.1), отсюда название формулы.

Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация формулы трапеций

1.2. Погрешность формулы. Воспользуемся известной оценкой погрешности интерполирования многочленом P₁(x):

R₁(z) = .

Имеем: R₁ = f(x) – F(x) Þ D = I – I* = = =

= = .

Здесь мы опять сделали замену переменных t = x – x₀. Тогда x = t + x₀, а x – x₁ = t + (x₀ – x₁) = t – (x₁ – x₀) = t – h. Отсюда

= = – f ’’ (x)×.

Итак,

D_ТРАП = – f ’’ (x)×, xÎ(a, b). (4.2)

Знак “–” означает, что при f ’’ > 0 формула (4.1) дает значение интеграла с избытком, а при f ’’ < 0 – с недостатком. На рис. 4.1 функция f(x) вогнута, т.е. f ’’ < 0, следовательно, I* < I. При f ’’ = 0, т.е. если f(x) = P₁(x), формула (4.1) не содержит погрешности и абсолютно точна.

Дата добавления: 2014-01-07