Приближенное вычисление значений функций

Приложения рядов в приближенных вычислениях.

Ряды Маклорена (Тэйлора) могут быть использованы для приближенного вычисления значений функций, определенных интегралов (в том числе «неберущихся», что особенно актуально), решения дифференциальных уравнений и т.д.

Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие числа:

а) ; б) ; в) ; г)

а) используя ряд (15.13) и полагая , получаем

Для обеспечения заданной точности воспользуемся признаком Лейбница: найдем такое значение n, для которого , или . Так как , то , следовательно, достаточно при вычислении взять три члена разложения, т.е.

б) . Используя разложение (15.2.8), и приняв (т.е. ), получаем

Чтобы вычислить с точностью , следует найти n, при котором , т.е. . Неравенство верно, если n= 3. Следовательно, следует взять два члена разложения, т.е. .

в) Воспользуемся биномиальным рядом для случая , , т.е. .

Получен знакочередующийся ряд, где третий член . Следовательно, .

г) .

Принимая , (входит в интервал сходимости).

Для обеспечения заданной точности достаточно взять три члена, так как четвертый член

Итак, .

Дата добавления: 2014-01-07