Иерархия математической модели

Блочно-иерархический подход к проектированию включает в качестве своей основы иерархию ММ. Деление модели по иерархическим уровням (уровням абстрагирования) происходит по степени детализации абстрагируемых свойств. При этом на каждом иерархическом уровне используются свои понятия «система» и «элементы». Так система n-го уравнения рассматривается как элемент на соседнем более высоком (n-1) уровне абстрагирования.

Иерархия моделей – это взаимосвязь и взаимоподчиненность моделей различных свойств объекта, описанных в виде, например, математических зависимостей, на каждом уровне абстрагирования.

Уровень абстрагирования – описание объекта по сложности взаимодействия функциональных связей.

Представим структуру некоторого объекта в виде множества элементов и связей между ними. Выделим в соответствии с БИП в структуре объекта некоторые подмножества элементов и назовем их блоками (на рис.4.1 показаны штриховыми линиями). Пусть состояние каждой связи характеризуется одной переменной vi, zj или uk.

Рис. 4.1. Представление структуры объекта

vi – переменная, относящаяся к внутренним связям между элементами данного блока;

zj – переменная, относящаяся к выходам блока;

uk – переменная, характеризующая входные связи между блоками;

Поясним понятие полной модели и макромодели.

Полная модель блока – это модель, составленная из моделей элементов с учетом меж элементных связей, т. е. модель, описывающая как состояние выходов, так и состояние каждого из элементов блока. Моделями элементов (vi) блока А являются уравнения, связывающее входные (uk) и выходные (zj) переменные:

f1(v1, u1) = 0

f2(v1, v2) = 0

f3(v2, u3, v4) = 0 (4.1)

………………

f9(v8, v9, z2) = 0

Полная модель блока есть система уравнений

F(V, U)=0

Z=Ψ(V, U), (4.2)

где V, U, Z – обобщенные векторы внутренних, входных и выходных переменных блока.

При большом количестве элементов, размерность вектора V и порядок системы уравнений (4.2) становится большим и требует упрощения.

При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных V. Полученная модель представляет собой систему уравнений вида:

(4.3)

Макромодель уже не описывает процессы внутри блока, а характеризует процессы взаимодействия данного блока с другими в составе системы блоков.

Модели (4.2) и (4.3) относятся друг к другу как полная модель и макромодель на n-ом уровне иерархии. На болем высоком уровне (n-1) блок А рассматривается как элемент и макромодель (4.3) становится моделью элемента А. Следовательно, модели (4.1) и (4.3) относятся друг к другу как модели элементов соседних иерархических уровней. Из модели типа (4.3) может быть составлена полная модель системы на (n-1) уровне.

В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Объединение уравнений, родственных по характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию трех укрупненных уровней иерархически функциональных моделей, которые складываются из микро, макро и метоуровней.

На микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние элементов объекта проектирования. Для моделирования применяют математический аппарат дифференциальных уравнений.

На метауровне с помощью дальнейшего абстрагирования от характера физических (химических, технологических или других процессов) получают информационное описание процессов, протекаемых в объекте. Здесь применяют аппарат анализа систем.

Требования, предъявляемые к математическим моделям

Основными требованиями, которые предъявляются к математическим моделям, являются следующие:

§ адекватность модели;

§ универсальность модели;

§ экономичность модели.

Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью.

Пусть – относительная погрешность модели по j–тому выходному параметру, равная:

=/,

(4.4)

где – j-тый выходной параметр, определяемый с помощью модели;

– текущий параметр, имеющий место в моделируемом объекте.

Тогда погрешность модели по совокупности учитываемых выходных параметров оценивается вектором

или

(4.5)

Точность объекта различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. Если задаться предельной допустимой погрешностью , то можно выделить область, в которой выполняются условие:

Дата добавления: 2014-01-07