Тема 5.2 Дифференциальное уравнение, описывающее дугу

Лекция 16

Классическая каналовая модель.

Уравнение Эленбааса-Хеллера (1934 г.)

Уже в тридцатых годах прошлого столетия на основе теоретических и экспериментальных работ сформировалось представление, что в столбе дуг высокого давления с достаточно хорошим приближением реализуется состояние термической плазмы. Под этим термином подразумевается, что все основные процессы в такой плазме являются однозначными функциями температуры, одинаковой для всех плазменных частиц. На основе этого Эленбаасом и Хеллером была предложена теория столба дуги, которая послужила основой для последующих теорий. Проведем элементарный вывод основного уравнения этой теории, описывающего баланс энергии в плазме разряда.

Предварительно оговорим исходные условия. Анализируем однородный по длине цилиндрический столб дуги в продольном электрическом поле, напряженность которого Е. Считаем, что дуга горит в неподвижном газе, находящемся при постоянном давлении в охлаждаемой трубке радиуса R_t. Рассматриваем режимы, при которых излучательные потери энергии из столба малы, а потери энергии из столба определяются в основном процессами теплопроводности в столбе дуги.

Как известно, тепловой поток в среде описывается выражением

J= - λgradT. (1)

Здесь J - удельный тепловой поток, λ - коэффициент теплопроводности, Т - температура.

В силу допущенной однородности столба по длине и его цилиндрической симметрии все параметры вещества в столбе являются функциями только текущего радиуса столба r. В частности, градиент температуры в этом случае представляет собой производную от температуры по радиусу, то есть в столбе реализуются лишь радиальные потоки тепла.

Чтобы записать дифференциальное уравнение, описывающее связь между параметрами столба, проанализируем энергобаланс тонкого цилиндрического слоя столба радиуса r и толщины Δr. Для упрощения записи выкладок рассмотрим энергобаланс цилиндрического слоя в расчете на единицу его длины. Очевидно, что энергобаланс слоя складывается из следующих частей: входящего теплового потока Q₊ через внутреннюю стенку слоя радиуса r; тепловой энергии Q_E, генерируемой в слое протеканием тока, и выходящего теплового потока Q_- через наружную стенку слоя радиуса r+Δr. В итоге баланс запишется в виде:

Q₊ + Q_E=Q_-. (2)

Раскроем выражения, входящие в энергобаланс.
Входящий тепловой поток представим в виде:

Q₊ = 2πrJ(r). (3)

Мощность тепловой энергии Q_E, генерируемой в цилиндрическом слое за счет протекания тока, запишем как:

Q_E = 2πrΔrσ(r) E², (4)

где σ(r) - удельная электропроводность среды в слое радиуса r.

Величину Q_- выразим следующим образом:

Q_- = 2π(r+Δr)J(r+Δr) = 2π(r+Δr)(J(r) + (dJ/dr)Δr). (5)

Подставляя выражения (3-5) в уравнение энергобаланса (2), придем после элементарных преобразований полученного выражения к дифференциальному уравнению, которое, обычно, записывается в виде:

-r^-1d(rJ)/dr + σE² = 0. (6)

Это и есть известное уравнение Элеенбаса-Хеллера. Граничные условия для него: на оси столба (r=0) производная dT/dr=0 вследствие симметрии, при r = R_t температура T = T_t, где T_t - температура стенок трубки.

Дата добавления: 2014-01-07