Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Геометризированной теорией множеств




ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

В математике в общем случае объект или процесс описывается системой n интегро-дифференциальных уравнений, определенной в пространстве RN с координатами :

 

(1)

 

Переменные xl и t рассматриваются как пространственные и временные координаты. Решения , описывающие состояния системы, называются переменными состояния; – управляющими параметрами.

Решение системы уравнений (1) является сложной задачей. Поэтому ее упрощают, ограничиваясь, во-первых, системой уравнений в частных производных, не содержащих пространственных производных, во-вторых, предполагая, что она не зависит от пространственных координат, и, наконец, считая, что она содержит производные по времени не выше первого порядка, которые входят в упрощенную функцию специальным («каноническим») образом: .

Систему уравнений (2) называют динамической системой.

Если функции в уравнениях (2) не зависят от времени, то такая система называется автономной динамической системой:

 

В случае консервативных систем возможно значительное упрощение системы уравнений (1):

 

 

, (3)

 

Эту систему называют градиентной (потенциальной) динамической системой.

Наибольший интерес представляет изучение состояний равновесия градиентных систем:

 

, (4)

 

Именно такого рода динамические системы в основном изучаются в настоящее время.

Потенциальные системы многих частиц (частицы движутся несвободно) – «вязкие» системы, в которых пропорциональна приложенной силе скорость движения частицы (системы Аристотеля), а не ее ускорение (системы Ньютона). Это нелинейные системы.

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые имеют несколько решений (корней, радикалов) и, соответственно, все нелинейные системы имеют несколько стационарных (установившихся) состояний, а протекающие в них процессы являются ветвящимися.

В нелинейных системах наблюдаются качественные, включая скачкообразные, изменения свойств при плавном изменении величины воздействующих на них факторов.

Наибольших успехов в изучении нелинейных динамических систем достигла геометризированная теория множеств - топологическая теория бифуркаций критических точек потенциальных функций (теория катастроф).

Топология – раздел математики, изучающий наиболее общие свойства пространств (фигур), сохраняющихся (инвариантных) при непрерывных преобразованиях (без разрывов и склеивания). Это наиболее общая геометрия.

Топологическое пространство – имеющее структуру множество элементов произвольной природы, называемых точками (структурированное множество).

Фазовое пространство – пространство, элементами которого являются фазовые точки – совокупности, значений параметров, определяющих состояние системы.

Топологическая динамическая система – непрерывная динамическая система.

Для систем с одной переменной состояния x функции катастроф (первые члены разложенной в ряд потенциальной функции, которые определяют качественное поведение системы) при уменьшении потенциальной энергии, записываются в виде:

 

(катастрофа вигвам),

 

(катастрофа бабочка),

 

(катастрофа ласточкин хвост),

 

(катастрофа сборка),

 

(катастрофа складка),

 

где высший член называется ростком катастрофы, а сумма остальных членов – возмущением (– управляющие коэффициенты).

 

Потенциальная функция Критические точки

 

Рис. 13.1. Катастрофа «складка»

Потенциальная функция

Критические точки и их проекция

 

Рис. 13.2. Катастрофа «сборка»




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 443; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.