Применение аналога электрической модели

Лекция 15

Предпочтительным вариантом решения указанной задачи представляется исходная дискретизация расчетной области подобно тому, как это делается в методе конечных разностей или методе конечных элементов.

В отличие от указанных методов при данном подходе не ставится задача получения решения с высокой точностью в области действительных чисел, а осуществляется формирование структурной схемы объекта, содержащего все внутренние связи, что позволило бы применить данную модель в системах реального времени при управлении сложными процессами. Аналогично теории электрического потенциала в рассматриваемой задаче производится расчет теплосодержания отдельных объемных элементов.

	Тепловые потоки между соседними элементами определяются через усредненные температуры блоков, площади контакта между ними и коэффициент теплопроводности. Таким образом, можно сформировать как чисто электрическую модель на конденсаторах и резисторах, так и ее цифровой аналог. Аналогичный подход, основанный на расчетах электрических моделей различных процессов неэлектрической природы, таких как тепловые, диффузионные, пневматические, используется при определении теплового состояния различных объектов.
Рис.1 Разбиение тела на элементы
	Комбинация электрических моделей и современной вычислительной техники с соответствующими вычислительными методами позволила авторам решить ряд сложных задач. В рассматриваемой работе более важной стороной является возможность использования модели в целях исследования поведения системы, содержащей объект сложной геометрической формы.
Рис.2 Электрическая модель тепловой задачи

Учет формы происходит при формировании матриц, описывающих сами элементы и связи между ними. Количество элементов определяет точность расчетов, но стремление к увеличению этого числа чревато возрастанием времени счета, что не всегда приемлемо, например, при использовании такой модели в контуре управления.

В качестве элементов при создании модели проще всего использовать апериодические звенья. Постоянные времени определяются в результате расчета перетока тепла от одного элемента к другому. Если рассмотреть изолированную систему из двух элементов, как показано на рис.3, то при разных размерах или, точнее, объемах элементов будет иметь место разная теплоемкость. При решении задачи получим, что потенциалы обеих точек примут некоторое установившееся значение, отличающееся от простой полусуммы начальных значений. С учетом линейности задачи это значение можно определить из условия сохранения энергии

(1)

Здесь - массы элементов, - удельная теплоемкость материала, - начальные значения температуры первого и второго элементов, - установившееся значение температуры в результате теплообмена между элементами.

Термическое сопротивление можно найти

(2)

Здесь - удельная теплопроводность материала, - площадь соприкосновения двух элементов, , - расстояние между центрами элементов по разным координатам.

В зависимости от задачи, то есть плоскопараллельной или осесимметричной, выражение для определения площади соприкосновения будет разным: (3) (4) Здесь: - длина линии соприкосновения двух элементов по оси ординат; - длина линии соприкосновения элементов в направлении, перпендикулярном плоскости листа (для плоскопараллельной задачи); - радиус середины линии соприкосновения двух элементов по оси ординат (для осесимметричной задачи).

Рис.3 Фрагмент тела с разбиением на элементы

Для другого взаимного расположения элементов, например для j – го и k – го, в расчетных выражениях вместо и будут фигурировать и . Длина линии l обычно принимается равной одному метру.

Определение динамических характеристик элементов производится по аналогии с электрическими схемами, где для простейшей цепи, показанной на рис.2, постоянная времени будет определяться с учетом результирующей емкости цепи

(5)

(6)

Для теплового процесса электрической емкости будет соответствовать тепловая емкость

(7)

Тогда постоянная времени процесса перетока тепла между элементами будет определяться следующим выражением

(8)

Для нахождения коэффициентов передачи между узлами соседних элементов необходимо рассмотрение всей цепочки термических сопротивлений вдоль осей абсцисс и ординат раздельно. При этом нужно рассчитать также термические сопротивления между граничными элементами и окружающей средой для учета тепловых потерь.

(9)

Здесь - коэффициент конвективного теплообмена.

Тогда установившееся тепловое состояние в нагреваемом теле будет вычисляться через баланс подводимой и отводимой в виде потерь мощностей

(10)

Общий поток определяется через перепад температур и суммарное термическое сопротивление

(11)

(12)

Температура в каждом элементе определяется через значение потока, термическое сопротивление и потенциал предыдущего узла

(13)

Из этого выражения непосредственно вытекает определение коэффициентов передачи

(14)

Сформированные массивы для элементов, связей между ними, источников, а также внешних устройств объединяются в структурную схему.

Использование полной структуры системы, позволит динамически учитывать состояние системы и влияние различных зон друг на друга. Введение дополнительной связи усложняет расчеты регулятора, но позволяет добиться более точного решения.

На рис.4 изображено несколько узлов, между которыми осуществляется теплообмен. Сигналы, пропорциональные разности температур соседних узлов и определяемые с помощью сумматоров, поступают на интегрирующие устройства. Благодаря постоянному отслеживанию уровня потенциалов (температура) в каждом узле происходит одновременное изменение уровней в рассматриваемой паре, но в противоположном направлении. Постоянные времени задаются путем настройки коэффициентов усиления усилителей. Использование таких моделей позволяет с заданной точностью аппроксимировать реальные процессы теплообмена. Создание управляющих и возмущающих воздействий не составляет проблемы. Единственным ограничением является громоздкость графического представления процесса. Непростым, но все же реализуемым является математическое описание структурной схемы. Наличие множества перекрестных и обратных связей затрудняет использование существующих методов синтеза. Тем не менее, практическая значимость таких схем, содержащих все каналы воздействия и сохранивших распределенный характер объекта, является очень высокой

Рис.5. Структурная схема объекта управления с каналами управления и

возмущающих воздействий.

Дата добавления: 2014-01-07