Численные методы моделирования тепловых процессов

Математическая модель нелинейной задачи теплопроводности в цилиндрических координатах имеет вид:

(5)

с граничными условиями:

(6)

(7)

где Т – температура; t – время; r и z – радиальная и аксиальная координаты; c – удельная теплоемкость, g -- плотность материала, W(r,z,t) – функция распределения внутренних источников тепла, полученных в результате решения электромагнитной задачи; -- коэффициент температуропроводности, ; e -- степень черноты материала загрузки; s₀ – коэффициент излучения абсолютно черного тела; a -- коэффициент теплообмена с окружающей средой конвекцией и зависит от геометрических размеров и формы стенки нагреваемого изделия; q – тепловой поток с поверхности загрузки.

В граничных условиях отражены два вида теплообмена: конвективный и излучением. Это связано с процессом изделий. Конвективный теплообмен преобладает при низких температурах (до 300 град Цельсия). На стадии нагрева, когда температура поверхности значительно возрастает, теплообмен осуществляется большей частью за счет излучения. Для упрощения формулировки задачи заменим теплообмен излучением тепловым потоком q(r,z,t ).

Как было сказано выше, тепловая задача решается методом конечных элементов, который дает возможность достаточно точно учитывать все нелинейности, путем изменения всех нелинейных величин с каждым шагом по времени, а также задать сложную геометрию нагреваемого изделия.

Следуя МКЭ, дифференциальному уравнению (1) ставится в соответствие вариационная формулировка о минимизации энергетического функционала, характеризующего тепловое состояние тела:

(8)

где L_h – граница с конвективным теплообменом; L_q – граница, которую пронизывает поток q; .

Исследуемая область аппроксимируется совокупностью элементов с конечным числом узловых точек. Для более точного учета функции распределения мощности зона, в которой протекают вихревые токи, покрывается более мелкой сеткой. Функционал (8) заменяется суммой отдельных вкладов элементов, определяя, таким образом, функциональные соотношения относительно узловых неизвестных.

В результате ансамблирования преобразованных элементарных матриц , формируются глобальные матрицы ансамбля КЭ , , которые являются симметричными ленточными матрицами размерностью (S´S) с шириной полуленты m _k. Величина S равна количеству узлов N^u. Учитывая особенности этих матриц, в памяти ЭВМ достаточно хранить коэффициентов для каждой матрицы, что существенно снижает потребные ресурсы ЭВМ по памяти и позволяет решать задачи с густой сеткой КЭ. Практически матрицы ансамбля хранятся в виде одномерных массивов размерностью N, а работа с ними производится с помощью вычисляемых индексов.

Полученные матрицы , и с учетом замены временной производной конечно-разностным аналогом, объединяются в систему уравнений (схема Галеркина).

(9)

где D t – временной шаг, n – номер шага.

Последнее выражение переписывается в виде:

(10)

Решение системы уравнений (10) производится различными методами в зависимости от размерности системы и от наличия нелинейности.

Дата добавления: 2014-01-07