КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
В аффинной системе координатРазличные уравнения плоскости Плоскость в аффинной системе координат Лекция 11 Плоскости и прямые в пространстве
Плоскость в пространстве можно задать точкой и двумя неколлинеарными векторами, параллельными ей (или принадлежащими ей) или тремя точками, не лежащими на одной прямой. В первом случае этот факт будем обозначать так: ; во втором – . Пусть в пространстве дана аффинная система координат . 1. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами. Пусть , || (рис. 65), в системе . тогда и только тогда, когда векторы и компланарны, т.е. их смешанное произведение . Переходя к координатам, получим уравнение: . (20) Итак, если , то ее координаты удовлетворяют уравнению (20). Если , то векторы и некомпланарны, следовательно, координаты точки не удовлетворяют уравнению (20). Таким образом, уравнение (20) есть уравнение плоскости . Оно называется уравнением плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами и . 2. Параметрическое уравнение плоскости. Пусть , . тогда и только тогда, когда векторы и компланарны. По теореме о компланарных векторах . Переходя к координатам, получаем: или (21) Система уравнений (21) называется параметрическим уравнением плоскости. Действительные числа u и v называются параметрами. Геометрический смысл параметров u и v: для любой точки существует единственная пара параметров , удовлетворяющих уравнениям (21), и обратно, и . 3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками. Пусть не лежат на одной прямой, , , . Так как точки , и не лежат на одной прямой, то || (рис. 66). Следовательно, плоскость можно задать точкой и двумя неколлинеарными векторами и : . Применяя уравнение (20), получаем: . (22) Уравнение (22) называется уравнением плоскости, заданной тремя точками . 4. Уравнение плоскости «в отрезках». Пусть , , (рис. 67), где . Используя уравнение (22), получим: ; т.е. . Раскроем определитель, стоящий в левой части, и преобразуем это выражение: ; ; разделим обе части этого уравнения на : , откуда получаем уравнение: . (23) Уравнение (23) называется уравнением плоскости «в отрезках». Геометрический смысл а, в и с: а – это абсцисса точки пересечения плоскости с осью , в – ордината точки пересечения с осью , с - аппликата точки пересечения с осью аффинной системы координат.
Задания для самостоятельной работы 1. Найдите уравнения координатных плоскостей аффинной системы координат . 2. Могут ли числа а, в и с в уравнении плоскости «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно (или два) равняться 0? Почему? 3. Какое из следующих уравнений является уравнением плоскости «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
4. Можно ли пользоваться уравнениями плоскости (20)-(23) в прямоугольной декартовой системе координат и почему?
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1097; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |