С постоянными коэффициентами и их систем

Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений

ЛЕКЦИЯ № 3

Учебные вопросы:

1. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операторным методом.

2. Решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом.

Литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т.2, гл.19.

Вопрос 1. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операторным методом.

Применим общую схему решения функциональных уравнений операторным методом к задаче Коши для линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Ограничимся рассмотрением уравнений 2-го порядка.

Пусть требуется найти решение задачи Коши:

. (1)

Будем предполагать, что функция является непрерывной функцией ограниченного роста с показателем λ, .

Будем искать решение среди дважды дифференцируемых функций также принадлежащих .

Обозначим изображение искомого решения , т.е. .

Запишем изображение производных:

,

.

Пусть .

Подставим это в уравнение (1) и от ДУ (в оригиналах) перейдем к алгебраическому уравнению (в изображениях).

, (2)

Алгебраическое уравнение относительно изображения искомой функции (2) называют операторным уравнением (или уравнением, изображающим уравнение задачи (1)). Решая его, найдем операторное решение задачи:

–

– изображение искомого решения.

Дата добавления: 2014-01-07