Уравнение эволюции диссипативных систем

Диссипативные системы

Диссипативные системы представляют собой весьма широкий и важный класс естественных систем. Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния систем используются коллективные переменные (температура, концентрация, давление, конвективная скорость и др).
При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется их важная особенность: уравнения не инвариантны относительно операции обращения времени.

¶ x_i/¶ t = F_i (x₁, x₂,.., x_n, r, t,..). (1)

F_i могут сколь угодно сложным образом зависеть от переменных x и их пространственных производных и явным образом - от пространственных координат r и времени t.

1) Если в этом уравнении совершить операцию обращения времени t* = - t, то по меньшей мере одна из функций F_{i ,} соответствующая четной переменной x_i, должна будет содержать инвариантную часть, в то время как функция F_i,, соответствующая нечетной переменной x_i, должна будет содержать часть, меняющую знак при обращении времени.

Концентрация и температура - примеры четных переменных.
Импульс частиц, конвективная скорость жидкости - нечетные переменные

2) Второе существенное различие между консервативными и диссипативными системами связано со вторым законом термодинамики и его многочисленными следствиями.

Фазовое пространство диссипативных систем включает ансамбль имеющихся переменных.
В случае непрерывной среды - это бесконечномерное пространство, в котором различные характеристики системы являются пространственно распределенными величинами. Удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных и когда это число конечно и невелико.

3) Особо стоит вопрос о связи между консервативными и диссипативными системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому

Микроскопические взаимодействия. В любой физической системе имеют место межмолекулярные взаимодействия. Они, главным образом, обусловлены силами электромагнитной природы. Эти короткодействующие силы, они исчезают, как только расстояния между взаимодействующими частицами превысят несколько межмолекулярных расстояний (несколько A°).

В очень нагретых системах или же системах с низкой плотностью межмолекулярные силы заметным образом не проявляются. При этом наблюдается явное доминирование кинетической энергии, что приводит к неупорядоченному поведению вещества. При понижении температуры вещества (повышении давления) кинетическая и потенциальная энергии стремятся поменяться ролями. В конце концов начнут доминировать межмолекулярные взаимодействия. Система при этом будет иметь такую конфигурацию, в которой соответствующая потенциальная энергия получит минимальное возможное значение.

Это очень напоминает движение тела, перемещающегося по некоторой поверхности под действием силы тяжести в самую глубокую впадину и затем колеблющегося около этого положения механического равновесия.

Пространственные структуры возникают в результате фазовых переходов. Структура системы характеризуется определенной микроскопической длиной (порядка нескольких А°), сравнимой с радиусом этих взаимодействий. Обусловленная фазовыми переходами упорядоченность приводит к структурам типа “окаменелостей”.

Макроскопические переходы. Пространственные масштабы после становятся макроскопическими, сравнимыми с масштабами самой системы. В системе кроме пространственных структурмогут возникать и длительно существовать разнообразные явления, зависящие от времени и также проявляющиеся в макроскопических масштабах.

Организующим фактором при макропереходах являются уже не фазовые переходы и равновесия, а, напротив, неравновесность системы, переход которой к равновесию уже не может происходить только за счет межмолекулярных взаимодействий. В условиях неравновесности система приобретает макроструктуру. В ней выделяются части, содержащие громадное число молекул, возникают новые явления, обусловленные состоянием вещества и характеризуемые крупномасштабными корреляциями.
Возникающее при макроскопическом переходе сложное поведение можно рассматривать как фазовый переход нового типа (неравновесный фазовый переход), в результате которого в системе создаются и усиливаются особые неравновесные условия. Эти условия проявляются в нарушениях симметрии.
Системы в неравновесном состоянии способны осуществлять бифуркационные переходы к новым состояниям, и эта их способность делает неравновесное состояние непохожим на любое состояние равновесия.

Если система находится в равновесии, то она будет пребывать в нем сколь угодно долго, а характеристики системы при этом будут сохранять свои значения неизменными во времени.

Механическое равновесие. В механике равновесие представляет собой особое состояние, в котором скорости и ускорения всех материальных точек равны нулю, и в силу этого результирующая сила, действующая на каждую точку равна нулю в любой момент времени.

Термодинамическое равновесие. При термодинамическом равновесии входящие в систему молекулы подвержены действию несбалансированных сил и движутся под действием этих сил (если только температура не становится чрезвычайно низкой) в любых возможных направлениях.

Понятие термодинамического равновесия относится к коллективным характеристикам системы в целом (температура, давление. концентрация). На рисунке схематически представлено взаимодействие системы и окружающей среды. Наборы переменных x_i и x_ie (химический состав, температура, давление,..) характеризуют обменные процессы между системой в целом и средой.

При термодинамическом равновесии характеристики среды и системы имеют одинаковые значения в любой момент времени в любой точке системы. В равновесии различные части системы между собой термодинамически неразличимы.

При наличии внешних сил могут возникать дополнительные переменные, характеризующие термодинамическое равновесие (электрическое поле, механическое напряжение и др.).

При термодинамическом равновесии ¶ x_i /¶ t = 0.

Однако, это равновесие специального типа, так как равновесие определяется только применительно к взаимодействию системы и среды и только относительно переменных из конкретного набора.

Так, для рассматриваемого примера равновесие обусловлено равенством химических составов, температур, и давлений. Это означает, что никаких систематических обменов тепловой (T- температура), механической энергией (P - давление) или веществом (С - концентрация) между системой и средой не происходит. При равновесии в этих каналах обменных процессов системе больше нечем обмениваться с внешней средой.

Это условие формулируется в виде равенства нулю полных потоков (J_ei = 0) в системе. Однако, это равенство не является абсолютным, застывшим. Оно означает, что если, например, в какой-то малой части системы возникнет некоторое незначительное нарушение равенстваT = T_e,тообязательно найдется обратный процесс, способный обеспечить противоположный вклад в тепловой поток J_i такой, при котором вновь восстановится равенство J_{i =} 0.

Подобное равновесие в деталях есть проявление обратимости во времени элементарных процессов в системе, описываемой консервативными уравнениями. Именно оно ответственно за большинство фундаментальных свойств равновесия, как например, свойств единственности и устойчивости.

Неравновесные ограничения. В неравновесных состояниях в системе имеются неисчезающие потоки, ориентированные от системы в среду и из среды в систему, и различия в значениях некоторых переменных x_i и x_ei.

Эти различия могут иметь переходный характер - они могут мгновенно возникать благодаря некоторому начальному условию и постепенно релаксировать по мере установления равновесия между системой и внешней средой.

Эти различия могут быть постоянными, если создать и поддерживать соответствующие условия (ограничения). Вследствие постоянного или временного действия ограничений в неравновесном состоянии детального равновесия уже нет.

Режим неравновесного состояния характеризуется способностью к изменениям - небольшие локальные отклонения от него не обязательно компенсируются постоянно возникающим противодействием (типичным для режима детального равновесия).

Эти малые отклонения могут быть усвоены или даже усилены системой, становясь тем самым причиной и источником новообразований и разнообразия.

[1] Мандельштам Л.И Лекции по теории колебаний.

[2]. Андронов А.А., [Витт А.А.], Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1987.

[3] ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения с одной переменной).

Дата добавления: 2014-01-07