Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Производная суммы, произведения, частного

1. Пусть.

Рассмотрим приращение функции:

Рассмотрим:

2. Пусть

Рассмотрим:

Тогда

Переходя к пределу, получим:.

3. Пусть

Рассмотрим:. Тогда

Далее, переходя к пределу, получим:, т.к. при приращение также.#

Функцияназывается дифференцируемой в точке, если её приращение может быть представлено в виде:, где А– некоторое число, не зависящее от, – б.м. функция при.

Теорема 1: Функция дифференцируема в точке в этой точке производная.

Доказательство:

П. функция –дифференцируема в точке, тогда по определению: или:, где –б.м. функция при. Но это означает, что разность, т.е., т.е..

П., тогда отношение или #

Теорема 2: Если функция –дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть –дифференцируема в точке, тогда (по предыдущей теореме), откуда следует, что, что означает непрерывность функции в точке. #

Замечание: Обратное утверждение не верно: (пример: в точке функция не имеет производной)

Теорема 3: Пусть функция – дифференцируема в точке, функция –дифференцируема в точке, тогда сложная функция: –дифференцируема в точке и верно равенство:.

Доказательство:

Пусть –приращение аргумента в точке, тогда ему соответствует приращение функции в точке, последнему приращению соответствует приращение:

, тогда рассмотрим отношение:

, далее, переходя к пределу при (а значит при), получим:, где последний предел равен нулю по определению б.м. функции при. Т.о. получаем:. #

Рассмотрим: функцию, – непрерывную на интервале, строго монотонную на нём. Пусть интервал –есть образ интервала. Тогда можно определить обратную функцию к функции:.

Рассмотрим значения аргумента: и, которым соответствуют значения функции: и такие, что:, аналогично:. Вследствие непрерывности прямой и обратной функций, для указанных имеет место:. Тогда верна следующая теорема:

Теорема 4: Пусть функция имеет производную:, тогда функция также имеет в соответствующей точке производную, причём:.


Доказательство:

Рассмотрим:, причём если, то и и наоборот. Тогда получим:, но т.к., то получаем требуемое утверждение: #

Замечание: Может случиться, что в рассматриваемой точке обратная функция имеет значение производной, равное бесконечно большому значению. В этом случае, обратное значение функции имеет бесконечно малое значение и наоборот (с учётом знака производной).

Примеры нахождения некоторых производных

для элементарных функций (см. таблицу)

1.;.

2.;

3.; т.к., тогда имеем:

, т.к., если.

4. Аналогично показывается результат вычисления производной от функции.

5. При вычислении производной функции используется правило дифференцирования частного и известные результаты (см. п. 3,4)

6. Аналогично для функции.

7.; Рассмотрим:

Т.о.

8.; ()

Используем понятие производной обратной функции:.

9.; Аналогично, используя производную обратной функции, получим: (), т.к..

10. Аналогично для функции. И т.д.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Производная функции, её геометрический и физический смысл | Применение ЭС в экономической деятельности
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 321; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.