Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Прямая на плоскости

10.1. Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Пусть - некоторая функция, зависящая от двух аргументов. Уравнение называется уравнением линии на плоскости, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на линии .

Очевидно, что уравнение данной линии зависит от выбранной системы координат. В разных системах координат уравнения одной и той же линии выглядят по-разному.

Линия называется алгебраической, если она определяется уравнением , где функция является многочленом от двух переменных. Алгебраическую линию называют линией порядка , если этот многочлен имеет степень . Так уравнение задает линию первого порядка, а уравнение - линию второго порядка.

Возьмем теперь функцию трех аргументов . Тогда уравнение является уравнением поверхности , если координаты всех точек этой поверхности удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек вне этой поверхности ему не удовлетворяют.

Среди поверхностей можно выделить алгебраические, которые задаются уравнением , в котором функция является многочленом от трех переменных. Степень этого многочлена определяет порядок поверхности.

Заметим, что слову «поверхность» (или «линия») мы придаем более широкий смысл, чем обычно. Так уравнение определяет единственную точку, а уравнение задает в пространстве прямую, совпадающую с осью .

Начнем с самого простого: будем рассматривать алгебраические линии и поверхности первого порядка.

 

10.2. Общее уравнение прямой на плоскости. Зафиксируем декартову прямоугольную систему координат. Пусть нам дана прямая . Возьмем произвольный вектор , перпендикулярный прямой , и возьмем произвольную точку на этой прямой. Если точка лежит на прямой , то вектор перпендикулярен вектору . Но тогда равно скалярное произведение этих векторов: . В координатах это равенство выглядит так:

Раскрывая скобки, получим , где . Итак, точки прямой удовлетворяют уравнению .

Обратно: пусть нам дано уравнение . Коэффициенты и не могут быть одновременно равны нулю, поэтому уравнение имеет хотя бы одно решение :

.

Вычтем из одного уравнения другое:

Если обозначить вектор с координатами через , точку с координатами через , а точку с координатами через , то уравнение запишется в виде . Значит, уравнению удовлетворяют точки прямой , проходящей через точку и перпендикулярной вектору , причем только они.

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

 

10.3. Нормированное уравнение прямой. Заметим, что коэффициенты уравнения определены с точностью до пропорциональности. Умножив все коэффициенты уравнения на одно и то же не равное нулю число, мы получим новое уравнение, но оно будет задавать ту же самую прямую. Если потребовать, чтобы вектор (который мы выбирали до сих пор произвольно, лишь бы соблюдалось условие перпендикулярности этого вектора и прямой) имел единичную длину, т.е. , а область изменения угла ограничить, например, отрезком , то вектор будет определен однозначно. Уравнение прямой примет вид

Этот вид уравнения прямой на плоскости называют нормированным.

Геометрический смысл коэффициента прозрачен. Если точка лежит на прямой , то из равенства

следует, что

.

Но . Значит, - это проекция радиус-вектора любой точки прямой на направление .

 

 

10.4. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля. В противном случае уравнение называется неполным. Неполные уравнения задают прямые, проходящие через начало координат или параллельные координатным осям.

Если общее уравнение прямой полное, то, разделив все члены на , получим , или , где .

Этот вид уравнения прямой называют уравнением прямой в отрезках. Геометрический смысл коэффициентов и ясен: это отрезки, которые прямая отсекает на координатных осях. Чтобы убедится в этом, нужно найти точки пересечения прямой с координатными осями. Положив, например, , мы получим или .

 

 

10.5. Каноническое уравнение прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором данной прямой. Решим такую задачу: найти уравнение прямой, параллельной данному вектору и проходящей через данную точку . Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Тогда . Отсюда

, т.е.

.

Этот вид уравнения называется каноническим. Заметим, один из знаменателей может быть равен нулю. Но мы будем понимать равенство дробей как пропорцию

.

 

10.6. Параметрические уравнения прямой. Откладывая от точкивекторы для различных значений , коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенства следует:

или

Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметр пробегает все действительные числа от до , соответствующая точка пробегает всю прямую.

Очевидна механическая интерпретация параметрических уравнений. Если считать, что - это время, - начальное положение точки при , вектор - постоянный вектор скорости, то параметрические уравнения описывают закон равномерного движения точки.

 

10.7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если прямая не параллельна

оси , т.е. коэффициент при в общем уравнении не равен нулю, то это уравнение легко преобразуется к виду . Коэффициент называют угловым коэффициентом прямой. Его геометрический смысл известен со школы: коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Действительно, если , то уравнение прямой превращается в . Прямая в этом случае параллельна оси абсцисс и тангенс угла наклона равен нулю. Если , то из уравнения легко получить каноническое уравнение

.

 

Вектор является направляющим вектором для прямой. Если угол острый, то . Если же угол тупой, то

.

 

10.8. Угол между двумя прямыми. Пусть две прямые заданы своими общими уравнениями:

Вектор перпендикулярен прямой , вектор перпендикулярен прямой . Угол между прямыми равен, очевидно, углу между векторами и . Поэтому

.

Прямые и параллельны, если и коллинеарны, что означает .

Прямые и перпендикулярны, если перпендикулярны векторы и , т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю. Это означает, что выполняется равенство .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Преступления против безопасности человечества | 
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 858; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.028 сек.