Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Векторное пространство




Сумма двух подпространств.

 

V, lim V=n

L1, L2 є V

Подпространство L= L1+ L2 =(def)={ӯ1=ā1 + ā2 | ā1 є L 1, ā2 є L2 }

Доказательство:

ӯ1, ӯ2 є L1 + L2 ↔ ӯ1=ā1 + ā2 и ӯ2=ā3 + ā4

ā1, ā3 є L 1, ā2, ā4 є L2

1) ӯ1+ ӯ2= (ā1 + ā2) + (ā3 + ā4)= (ā1 + ā3) + (ā2 + ā4)

є L 1 є L2

 

2) ∀ числа λ и ∀ ӯ 1 є L | λ∙ ӯ= λ∙(ā1 + ā2)= λ∙ā1+ λ∙ ā2= L1 + L2

є L 1 є L2


Теорема о пополнение

Пусть V - векторное пространство dimV=n(∃ базис ē12, …,ēn). ∀ линейно-независимую упорядоченную систему векторов (ƒ̅ 1,ƒ̅2, …, ƒ̅n)⊂ V можно дополнить до некоторого базиса пространства V. В частности ∀ не нулевой вектор V можно включить в некоторый базис.

Если s=n, то это уже базис.

Если s>n быть не может, потому что в ∀ системе векторов больше, чем в базисе – она линейно зависима.

Если s<n:

(1) ƒ̅ 1, ƒ̅2, …, ƒ̅s, ē1, ē2, …,ēn – (n+s) векторов. Отбросим все векторы, которые выражаются через предыдущие. Так как Fs линейно независима, то она остается, по критерию линейно независимости.

(2) ƒ̅ 1, ƒ̅2, …, ƒ̅s, ē 𝑖1, ē𝑖2, …,ē𝑖𝑛 составим произвольную линейную комбинацию

α1 ƒ̅ 1, α2 ƒ̅2, …, αs ƒ̅s, β1 ē 𝑖1, β2 ē𝑖2, …, βk ē𝑖n

βn с максимальным n, βn ≠0 ⇒ ē𝑖n выражается через предыдущий ⇒ βn =0

α1 ƒ̅ 1+ αs ƒ̅s=ō ⇒ α12,…,αs =0

Значит, наша система 2 линейно независима.

2 – полная система, так как ∀ вектор пространства V линейно выражается через систему 1, через 2в силу транзетивности: линейный вектор пространства V выражается через систему 2.

Следствия:

Если есть подпространство пространства, то размерность подпространства не превосходит размерность пространства: L⊂V ⇒ dimL≤dimV

dimL=dimV ⇒ L=V

Базис любого подпространства можно включить в некоторый базис объемлющего пространства.

Сумма подпространств.

Сумма подпространств – это такое множество, которое состоит из элементов одного и другого подпространств

Теорема. Размерность суммы.

Пусть U и W –конечномерные подпространства V.

 

dim(U+W) = dimU + dimW - dimU∩W

k = dimU p=dimW m = dimU∩W

U∩W⊂U ⇒ m ≤ k

U∩W⊂W ⇒ m ≤ p

В пересечение подпространств выбираем какой либо базис

ē1, ē2, …,ēm(базис U∩W) a̅1, …, a̅k-m-базис в U

ē1, ē2, …,ēm(базис U∩W) b̅ 1,…,b̅̅ p-m базис в W

z = u + w u∊U,w∊W

u+w=[ ē1, ē2, …,ēm, a̅1, …, a̅k-m, b̅ 1,…,b̅̅ p-m ] – линейная оболочка.

Любой вектор суммы принадлежит линейной оболочке.

Осталось проверить линейную независимость.

Равенство нулю возможно только в тривиальном случае.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 364; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.