Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Произвольные последовательности.




Рассмотрим и произвольную возрастающую последовательность , ().

Выберем из элементы с номерами и расположим их в порядке возрастания номеров. Полученную таким образом новую последовательность принято называть подпоследовательностью исходной последовательности . Если – подпоследовательность сама есть последовательность. Ясно, что .

 

♦ Утверждение 10.3. Если последовательность сходится к пределу а, то любая её подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а.

♦ Утверждение 10.4. Если все подпоследовательностинекоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность).

 

♦ Утверждение 10.5. Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.

 

Определение 10.4. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки хсодержитсябесконечно много элементов этой последовательности.

Определение 10.5. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х.

♦ Утверждение 10.6. Определения 10.4 и 10.5 эквивалентны.

Доказательство. Пусть в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов . Рассмотрим совокупность -окрестностей точки х, для которых последовательно равно . В первой из этих окрестностей выберем элемент , во второй , где и т.д.

, где .

Этот процесс будем продолжать неограниченно, т.к. в -окрестности точки x лежит бесконечно много элементов последовательности . В результате мы получим подпоследовательность последовательности, которая сходится к x, т.к. . ■

 

♦ Лемма 10.1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Доказательство. Пусть сходится: , тогда а – предельная точка, т.к. любая подпоследовательность имеет предел а при .

Докажем единственность предельной точки a методом от противного.

Пусть b – предельная точка, тогда подпоследовательность при , но любая подпоследовательность имеет предел а и, таким образом, b = a. ■

 

J Пример 10.1. Последовательность имеет две предельные точки 0 и 2, то есть предела не имеет. J

 

♦ Теорема 10.3 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Т.к. последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае, из этой последовательности можно выделить подпоследовательность такую, что . ■

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 515; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.