Доверительный интервал для статистического математического ожидания

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Оценки (2) и (5) являются функциями от значений случайных величин и потому сами являются случайными величинами. Следовательно, для них существует некоторый интервал возможных значений и функция распределения, указывающая закон распределения оценки на интервале. И хотя конкретный вид их распределения нам часто неизвестен, но для оценок (2) или (5) существует целый интервал значений, которые также практически пригодны в качестве оценки. Поэтому возникает задача: проверить надежность оценки, выяснить в каком интервале данные согласуются с результатами наблюдений. Введем достаточно большую вероятность b такую, что события с такой вероятностью считались бы практически достоверными. Такая вероятность называется доверительной. Выбор величины доверительной вероятности зависит от постановки задачи, чаще всего берутся значения b=0,9;0,95;0,99;0,997...Поставим следующую задачу:

По данной доверительной вероятности b найти для данной оценки такой интервал I_b, что вероятность попадания на интервал была равна

P(XÎ I_b)=b.

Этот интервал называется доверительным. Доверительный интервал I_b можно выбрать неоднозначно. Поэтому при конкретных построениях вводят некоторые дополнительные условия, при которых выбор осуществляется однозначно.

Поставим задачу нахождения доверительного интервала для статистического математического ожидания. Пусть MX_i=m и DX_i=s². Тогда MM^*X=m и DM^*X=s²/n. Зададим доверительную вероятность b. Так как M^*X есть среднее значение суммы, то по центральной предельной теореме закон распределения для M^*X близок к нормальному, который обладает симметрией относительно математического ожидания. Поэтому потребуем выполнения равенства

(6)

где e>0 - величина, подлежащая определению.

Если бы закон распределения был известен, то по закону распределения нашли бы соответствующую величину e_b и нашли бы доверительный интервал из условия

которое запишем в виде

или

Воспользуемся тем, что закон распределения для M^*X близок к нормальному. Из-за отсутствия точных значений m и s² возьмем для M^*X в качестве параметров нормального распределения a= M ^*X иТогда равенство (6) запишется в виде

Найдем t_b из равенства

Тогда приближенное значение доверительного интервала для статистического математического ожидания

При построении доверительного интервала взято дополнительное условие: доверительный интервал симметричен относительно M^*X. Доверительный интервал показывает множество значений, которые согласуются с результатами опыта. Заметим, что доверительная вероятность не является вероятностью попадания величины M^*X на интервал I_b. Это вероятность того, что случайный интервал I_b накроет неслучайное значение m.

Пример.

Пусть по результатам 20 наблюдений получено M^*X=10,78 и D^*X=0,064. Построить доверительный интервал для b=0,9. Тогда

Доверительный интервал имеет вид

Дата добавления: 2014-01-07