Неравенство Ляпунова

Теорема 12.3. Неравенство Ляпунова

Если и случайная величина такая, что , тогда .

Доказательство. Положим , , , . Тогда, применяя неравенство Иенсена, получим

.

Из этого неравенства и следует требуемое неравенство Ляпунова.

ЛЯПУНОВ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ (6.06.1857–3.11.1918) — Русский математик и механик, акад. Петербургской АН (с 1901, чл.-кор. с 1900), чл.-кор. Парижской АН, иностранный член Национальной академии деи Линчей, почетный член Петербургского, Харьковского и Казанского ун-тов, член многих академий наук и научных обществ. Родился в Ярославле. Окончил Петербургский университет (1880). Ученик Чебышева. В 1884–1885 работал в Петербургском университете, в 1885–1902 – в Харьковском университете (с 1893 – профессор). С 1902 жил в Петербурге, занимался исключительно научной работой. В 1917 переехал в Одессу. С осени 1918 – профессор Одесского университета.

Основные работы посвящены теории устойчивости равновесия и движения механических систем, теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости и математической физике. Важнейшим достижением Ляпунова является создание современной теории устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров.

В математической физике решил ряд важных задач, в частности задачу Дирихле. В теории вероятностей развил метод характеристических функций, очень общий. При этом доказал центральную предельную теорему теории вероятностей при значительно более общих условиях, чем его предшественники.

12.7. Неравенство Гельдера [2]

Теорема 12.4. Неравенство Гельдера

Пусть , , и случайные величины и таковы, что , . Тогда .

Доказательство.Если , то. Из рисунка соответствующего случаю , вытекает, что сумма площадей

и

не меньше, чем : . Положим в этом неравенстве

,

и возьмем математическое ожидание от обеих частей полученного неравенства. Тогда, используя свойства математического ожидания, получим

,

откуда и следует неравенство Гельдера.

Следствие 12.1. (Неравенство Коши–Буняковского). Положив , получим

.

БУНЯКОВСКИЙ ВИКТОР ЯКОВЛЕВИЧ (16.12.1804–12.12.1889) — русский математик, член Петербургской Академии Наук (1830г., адъюнкт-с 1828г.) и ее вице-президент (1864-1889гг). Родился в Баре (ныне Винницкой области). Начальное образование - домашнее. В 1820-1825гг. учился за границей, в частности в Париже, где в то время преподавали такие знаменитые ученые, как П. С. Лаплас, Ж. Б. Ж. Фурье, С. Д. Пуассон, О. Л. Коши, А. М. Лежандр, А. М. Ампер и другие. Там же защитил диссертацию и получил степень доктора математики (1825г.).

Буняковский занимался педагогической деятельностью: преподавал в 1-м кадетском корпусе (1827г.), в морском корпусе (1827-1862гг.) и в Институте путей сообщения (1830-1846гг.). В 1846-1859гг. читал курсы аналитической механики, теории вероятностей и математического анализа в Петербургском университете. С 1858г. был главным экспертом производства по вопросам статистики и страхования.

Обширна и плодотворна научная деятельность Буняковского. Список его сочинений содержит 168 названий. Работал преимущественно над теорией чисел и теорией вероятностей с ее приложениями; ему принадлежат также работы, посвященные вопросам анализа, геометрии и алгебры. Интересовался практикой вычислений, предложил усовершенствованный вариант русских счетов. Важнейшее место в деятельности Буняковского занимают труды по теории вероятностей. Его сочинение "Основания математической теории вероятностей" (1846г.) содержит, кроме оригинального изложения самой теории вероятностей, историю возникновения и развития этой науки и множество ее приложений к страхованию, демографии и т.п. Ряд известнейших статей Буняковского посвящен статистике народонаселения, подсчету вероятных контингентов русской армии, решению задач судопроизводства, определению погрешности наблюдений и т. д. Все эти работы содействовали успешному развитию теории вероятностей в России. Работы по теории чисел о сравнениях, квадратичном законе взаимности и другие возродили в русской науке интерес к теории чисел, успешно разрабатывавшейся в Петербургской Академии Наук в XVIII в. В математическом анализе большое значение имеет открытое Буняковским неравенство, которое иногда называют неравенством Шварца, хотя Г. А. Шварц нашел это неравенство только в 1875г., т.е. на 16 лет позднее. Работы Буняковского по геометрии относятся преимущественно к теории параллельных линий.

Наряду с М. В. Остроградским и П. Л. Чебышевым Буняковский сыграл огромную роль в повышении научного уровня преподавания математики в высшей школе и в расширении ее учебной программы. Составленный Буняковским обширный "Лексикон чистой и прикладной математики" (до буквы Е) имел большое значение для математического просвещения и введения научной терминологии. Буняковский написал также учебники для средней школы: "Арифметику" (1844г.), "Программу и конспект арифметики" (1849г.).

12.8. Рекомендуется изучить самостоятельно:

Ø [2] – стр. 86 — 97;

Ø [3] – стр. 158 — 172.

Дата добавления: 2014-01-07