Численные методы решения дифференциальных уравнений

Задача Коши

Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка

y' = f(x, y), x Î [x₀; b] (1)

с начальным условием

y(x₀) = y₀, (2)

где f(x, у) — некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Будем считать, что для данной задачи (1)-(2), называемой начальной задачей или задачей Коши, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [x₀; b] ее решения y = y(x) (такие требования можно найти в любом курсе дифференциальных уравнений или в соответствующем разделе курса высшей математики). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1), решить его аналитически, т. е. найти общее решение y = y(x, C) с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую y = y(x), проходящую через заданную точку (x₀; y₀), удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений, описание которых также можно обнаружить, например, в упомянутых литературных источниках. Поэтому, как и в родственной для (1)-(2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1) приближенно-аналитические методы,

2) графические или машинно-графические методы,

3) численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить приближение решения у(x) сразу в виде некоторой «хорошей» функции φ(x). Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции у(x) отрезком ряда Тейлора, где тейлоровые коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцированием самого уравнения (1). Другим представителем этой группы методов является метод последовательных приближений или метод Пикара.

Название графические методы говорит о приближенном представлении искомого решения у(x) на промежутке [x₀; b] в виде графика, который можно строить по тем или иным правилам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Физическая или, возможно, точнее будет сказать, электротехническая интерпретация начальных задач для определенных видов уравнений лежит в основе машинно-графических методов приближенного решения. Реализуя на физико-техническом уровне заданные электрические процессы, на экране осциллографа наблюдают поведение решений дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Изменение параметров уравнений приводит к адекватному изменению поведения решений, что положено в основу специализированных аналоговых вычислительных машин (АВМ).

Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характеризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы человеческой деятельности цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений у_i искомого решения y(x) на некоторой сетке x_i Î [x₀; b] значений аргумента x. Этим способам и будет посвящено дальнейшее изложение. Что делать с получаемыми численными значениями решения, зависит от прикладной постановки задачи. Если речь идет о нахождении только значения у(b), тогда точка b включается как конечная в систему расчетных точек x_i, и все приближенные значения y_i» y(x_i), кроме последнего, участвуют лишь как промежуточные, т. е. не требуют ни запоминания, ни обработки. Если же нужно иметь приближенное решение y(x) в любой точке x, то для этого к получаемой числовой таблице значений y_i можно применить какой-либо из способов аппроксимации табличных функций, рассмотренных ранее, например, интерполяцию или МНК. Возможны и другие использования численных данных о решении.

Дата добавления: 2014-01-07