Свойства сходящихся рядов

Свойства сходящихся рядов, позволяющие осуществлять арифметические операции над ними, сформулируем в виде теорем.

Теорема 1

Прибавление к сходящемуся ряду конечного числа членов или отбрасывания их не меняет сходимости ряда.

Доказательство:

Пусть ряд сходится, тогда = = .

Обозначим:

- - сумма n первых членов ряда

- - сумма k отбрасываемых членов (k<n)

- - сумма n-k первых членов ряда , (3) полученного из исходного ряда отбрасыванием k первых членов

Тогда = + , = - (причем = - некоторое число, не зависящее от n).

Перейдем к пределу при :

= - =

т.е. частичные суммы ряда (3) имеют предел при , т.е. ряд (3) сходится.

Теорема 2

Если ряд (4) сходится и его сумма равна S, то ряд , (5) полученный умножением ряда (4) на некоторое число так же сходится, а его сумма равна

Доказательство:

Обозначим за частичную сумму ряда (4), а за - частичную сумму ряда (5). Тогда

= = =

перейдем к пределу при

= = = S.

Теорема 3

Если ч. ряды = S (6) = (7) сходятся и имеют суммы S и , то ряд (8) также сходится и его сумма равна S +

Доказательство:

Обозначим за - частичную сумму ряда (6), - (7) и - (8).

Тогда = = + = +

Перейдем к пределу :

= = + = S +. Т.е. ряд сходится.

Аналогично = S -.

Дата добавления: 2014-01-07