Доказательство. Дифференцируемость функции

Дифференцируемость функции

Определение. Если приращение функции y = f(x) при х = х₀ можно представить в виде

, (2)

где A = const, то y = f(x) называется дифференцируемой при х = х₀, а АΔх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.

Обозначение: dy = АΔх.

Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Δx, можно обозначать Δх = dx.

Теорема. Функция дифференцируема в некоторой точке тогда и только тогда, если она имеет в этой точке производную.

1) Если для y=f(x) существует , то , где β(Δх) – бесконечно малая при Δх→0. Тогда . Следовательно, функция y = f(x) дифференцируема при х = х₀, причем А = f`(x₀).

2) Пусть y=f(x) дифференцируема при х=х₀, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда . Таким образом, f(x) имеет производную в точке х₀, равную А.

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что, что и означает непрерывность f(x) при х = х₀.

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Дата добавления: 2014-01-07