Неявные многошаговые методы Гира

Неявный многошаговый метод Гира n -го порядка получается из общей разностной схемы многошаговых методов при следующем выборе параметров: р = n -1, b ₁ = b ₂ =… = b_{п- 1} = 0. Его разностная схема

Коэффициенты a₀,, a ₁, a₂,...,a_{n- 1}, b _-1 должны быть определены таким образом, чтобы выполнялись условия корректности полиномиальных решений, которые с учетом выбранных значений p, b_i принимают вид

Запись a_i (n), b _-1(п) подчеркивает зависимость значений этих коэффициентов от порядка метода.

Запишем условия корректности полиномиальных решений многошаговых методов Гира в развернутом виде:

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений единственным образом определяет коэффициенты метода Гира п -го порядка.

Приведем методы Гира первого, второго и третьего порядков.

1. п = 1. Коэффициенты а₀(1), b _-1(1) определяются системой

из которой находим а ₀(1) = 1, b _-1(1) = l, и разностная схема метода Гира записывается следующим образом:

Разностная схема метода Гира первого порядка совпадает с неявным методом Эйлера.

2. п = 2. В этом случае неизвестные коэффициенты а ₀(2), а ₁(2), b _-1(2) являются решением системы

Видно, что b _-1(2) = 2/3, а ₁(2) = -1/3, а ₀(2) = 4/3. Разностная схема метода Гира второго порядка имеет вид

3. п = 3. При этом система линейных алгебраических уравнений

определяет следующие значения неизвестных коэффициентов: а ₀(3) = 18/11, а ₁(3) = -9/11, а ₂(3) = 2/11, b _-1(3) = 6/11. Подставив эти коэффициенты в общую формулу методов Гира, получим метод Гира третьего порядка:

По аналогии можно построить многошаговые методы Гира и более высоких порядков.

Приведем в заключение оценку локальной погрешности (без вывода) метода Гира п -го порядка:

где константа С„ зависит от порядка метода и для приведенных схем соответственно равна: С ₁ =- 1/2, С ₂ = - 2/9, С ₃ = -3/22.

Замечание. Все рассмотренные методы применимы и к системам дифференциальных уравнений. В алгоритмах рассмотренных методов необходимо заменить скалярные искомые величины векторными.

Дата добавления: 2014-01-07