Парабола. Её свойства

Свойства гиперболы.

Гипербола. Её свойства.

Свойства эллипса.

Эллипс. Его свойства.

Тема: Кривые 2-го порядка, их свойства.

Лекция № 6

Пусть на плоскости задана декартовая система координат. Рассмотрим общее алгебраическое уравнение, связывающее 2 переменные и:

Рассмотрим различные частные виды уравнения:

(1). Данному уравнению не удовлетворяет ни одна из точек плоскости, т.е. уравнение не имеет решений.

(2). Этому уравнению удовлетворяет лишь одна точка плоскости, а именно точка начала координат.

(3) Данному уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой.

(4) Уравнению удовлетворяют координаты точек, лежащих на 2-ч прямых.

(5) Уравнению удовлетворяют точки, лежащие на некоторой линии, называемой кривой второго порядка.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная:, где,. Тогда получим:. Далее, возводя обе части равенства в квадрат, получим:, далее возводя обе части в квадрат, получаем:. Обозначая:, получим:

или деля обе части на приведём исходное уравнение к результату:, которое носит название канонического уравнения эллипса.

1. Эллипс симметричен относительно осей координат

2. Эллипс имеет точки пересечения с осями координат:.

3. Эллипс содержится в прямоугольнике:.

4. каноническое уравнение, если центр в точке:.

5. Эллипс выпуклая фигура (доказательство этого факта в МА)

Пример 1: Составить каноническоеуравнение эллипса, если его расстояние между фокусами равно 6, большая полуось равна 5.

Решение:

. #

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до 2-х заданных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна.

. Далее, возводя обе части в квадрат 2 раза, получим уравнение гиперболы: или, либо в более общем случае: или

.

1. Гипербола симметрична относительно осей координат и начала координат.

2. Гипербола пересекается с осью Ox в двух точках: A(-a;0); B(a;0) или A(0;-a); B(0;a).

3. Абсциссы точек гиперболы удовлетворяют неравенству:.

4. Прямые являются асимптотами данной линии.

Пример 2: Составить каноническое уравнение гиперболы, у которой вещественная полуось равна 5 и вершины делят расстояние между фокусами и центрами пополам, т.е. отсюда следует каноническое уравнение гиперболы: #

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удалённых от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

– каноническое уравнение параболы. Парабола симметрична относительно фокусной оси.

Пример 3: Установить, какие линии определяются уравнениями:

1.

2.

3. #

Дата добавления: 2014-01-07