Правило суммы и правило произведения

Правило суммы для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В – другими m способами, то выбор «или А, или В» можно осуществить n+m способами.

При использовании правила суммы необходимо осознавать, что множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объекта В не должно иметь общей части, в противном случае из суммы n+m нужно вычесть величину общей части множеств А и В.

Пример 5.3. Преступник может проникнуть в квартиру либо через входную дверь, либо через окно. Число способов проникновения через дверь – 4, через окно – 3. Сколько всего существует способов проникновения в квартиру?

Решение. Так как способы проникновения в квартиру через окно и через дверь различны, то мы можем воспользоваться правилом суммы. Тогда количество способов проникновения либо через окно, либо через дверь, т.е. количество различных способов проникновения в квартиру, будет равно 4+3=7.

Правило суммы для выбора m объектов. Если объект можно выбрать способами, объект другими способами, объект отличными от первых двух способами, и т.д., объект - способами, отличными от первых (m -1), то выбор одного из объектов: или объекта , или объекта , …, или объекта можно осуществить + +…+ способами.

Правило произведения для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами и после этого действия объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары объектов (А, В) можно осуществить способами.

Действительно, каждый из n способов выбора объекта А можно скомбинировать с различными m способами выбора объекта В. А это и приводит к способам выбора пары (А, В). Правило произведения можно представить с помощью следующей таблицы:

,

где , i= 1, …, n способы выбора объекта А, , j= 1, …, m способы выбора объекта B и выбор объекта В не зависит от выбора объекта А.

Пример 5.4. Во взводе 25 курсантов. Сколько существует способов назначения командира взвода и его заместителя.

Решение. Сначала выберем командира взвода. Число способов выбора равно 25, так как каждый курсант может быть назначен на эту должность. После этого остается 24 курсанта, из которых может быть назначен заместитель командира взвода. Т.е. число способов назначения заместителя командира – 24. По правилу произведения количество способов назначения пары курсантов на указанные должности = 600.

Правило произведения для выбора m объектов. Если объект можно выбрать способами, после каждого такого выбора объект можно выбрать другими способами, после этого объект можно выбрать способами, и т.д., после выбора каждого из (m -1) объектов -й может быть выбран способами, то выбор всех элементов ( , , …, ) в указанном порядке можно осуществить  … способами.

Пример 5.5. Для запирания некоторых автоматических камер хранения, кейсов применяют цифровые кодовые замки, которые отпираются при наборе заданной комбинации цифр. Замок состоит из 4 дисков, на каждом из которых нанесены все цифры. Сколько времени необходимо злоумышленнику для перебора всех комбинаций замка, если на одну комбинацию он тратит 2 секунды.

Решение. При кодировании и открывании замка каждую цифру можно выбрать 10 способами. Всего цифр - 4, причем в комбинации важен порядок расположения цифр. Значит, по правилу произведения общее число комбинаций равно . Таким образом, для перебора всех комбинаций необходимо потратить секунд или 5 часов 33 минуты и 20 секунд непрерывной работы. Заметим, что найденное время необходимо для перебора всех комбинаций. Но нужная комбинация может вовсе и не быть последней.

Дата добавления: 2014-01-07