Пример. Ядро бинарного отношения

Ядро бинарного отношения

ДО 5 БАЛЛОВ ЗА КОНСПЕКТ

Определение. Пусть . Ядром бинарного отношения называется композиция

Пример.

Положим А = В = {1,2,3,4};

={(1,1), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}.Тогда

;

{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}.

Этот пример показывает, что ядро не обязано быть рефлексивным (пара (4,4) в него не входит); транзитивным ((1,3) , (1,2), (2,3) ); полным ((1,3), (3,1) ).

Пусть M – произвольное конечное множество, 2 ^M – его булеан. Рассмотрим прямое произведение , где ={0}. Рассмотрим отношение Следовательно,

,

Такое ядро содержит все упорядоченные пары множеств одинаковой мощности, оно называется отношением равномощности.

Опишем некоторые свойства ядра.

1. Любое ядро – симметричное бинарное отношение.

Доказательство.

и и

2.

Значит, любое ядро содержит все пары вида (a, a), где a – каждый первый элемент пар бинарного отношения . Следовательно, ядро не может быть пустым, если только .

3. Если и , то . Обратно, если , то и .

Дата добавления: 2014-01-07