Энергия гармонических колебаний

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

. (5.4.1)

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

. (5.4.2)

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

. (5.4.3)

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

. (5.4.4)

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

. (5.4.5)

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

. (5.4.6)

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2w и амплитудой .

5.5. Пружинный, математический и физический маятники

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m, подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m, прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Oх F _упр = ma. Упругая сила F _упр = − kx. Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

или . (5.5.1)

Отсюда

. (5.5.2)

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Þ . (5.5.3)

Так как период колебаний определяется по формуле , то период колебаний пружинного маятника

. (5.5.4)

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом j, образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент , равный по величине mgl sinj. Он имеет такое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для
вращательного момента имеет вид: M =
= − mgl sinj. Применим основное уравнение динамики вращательного движения

M = I e, (5.5.5)

где I = ml ² − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение , получим

Þ . (5.5.6)

Если рассматривать малые колебания, то . Получим

Þ . (5.5.7)

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Þ . (5.5.8)

Период колебаний математического маятника

. (5.5.9)

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M = − mgl sinj.

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

Þ , (5.5.10)

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то . Получим

Þ . (5.5.11)

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Þ . (5.5.12)

Период колебаний математического маятника

. (5.5.13)

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников и получается, что математический маятник с длиной

. (5.5.14)

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l _пр (отрезок OO ¢) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О ¢) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Дата добавления: 2014-01-07